מפת"ח מתמטי https://mathkey.haifa.ac.il משימות פתוחות לפיתוח חשיבה מתמטית Thu, 19 Oct 2023 11:19:21 +0000 he-IL hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.5.2 https://mathkey.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2020/03/cropped-mathkey-icon_512x512-32x32.jpg מפת"ח מתמטי https://mathkey.haifa.ac.il 32 32 הפרש ריבועים – מדרגה 2 https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%94%d7%a4%d7%a8%d7%a9-%d7%a8%d7%99%d7%91%d7%95%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9e%d7%93%d7%a8%d7%92%d7%94-2/ Mon, 29 Nov 2021 10:20:28 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8471

הפרש ריבועים - מדרגה 2

משימה

לפניכם שלוש דוגמאות של הפרש ריבועים של מספרים עוקבים:

\(3^2-2^2=5\)

\(6^2-5^2=11\)

\(11^2-10^2=21\)

הסיקו מסקנות לגבי הפרש ריבועים של מספרים עוקבים והוכיחו אותן בדרכים שונות.

מדרגה 2

  • ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון

  • ניתן לשנות את כמות העיגולים הוורודים בעזרת סרגל הגרירה שמשמאל.
  • ניתן לשנות את מיקום העיגולים האפורים בעזרת סרגל הגרירה התחתון.
משימה

מדרגה 1

]]> הפרש ריבועים – מדרגה 1 https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%94%d7%a4%d7%a8%d7%a9-%d7%a8%d7%99%d7%91%d7%95%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9e%d7%93%d7%a8%d7%92%d7%94-1/ Mon, 29 Nov 2021 10:20:19 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8470

הפרש ריבועים - מדרגה 1

משימה

לפניכם שלוש דוגמאות של הפרש ריבועים של מספרים עוקבים:

\(3^2-2^2=5\)

\(6^2-5^2=11\)

\(11^2-10^2=21\)

הסיקו מסקנות לגבי הפרש ריבועים של מספרים עוקבים והוכיחו אותן בדרכים שונות.

מדרגה 1

  • ניתן להיעזר ביישומון המצורף.
  • במידת הצורך, ניתן להיעזר במדרגה 2.

יישומון

  • בסרגל הגרירה ניתן לשנות את הערך \(a\), שמייצג את הערך הקטן בין שני המספרים העוקבים.

משימה

]]> הפרש ריבועים https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%94%d7%a4%d7%a8%d7%a9-%d7%a8%d7%99%d7%91%d7%95%d7%a2%d7%99%d7%9d/ Mon, 29 Nov 2021 10:17:10 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8462

הפרש ריבועים

משימה

לפניכם שלוש דוגמאות של הפרש ריבועים של מספרים עוקבים:

\(3^2-2^2=5\)

\(6^2-5^2=11\)

\(11^2-10^2=21\)

הסיקו מסקנות לגבי הפרש ריבועים של מספרים עוקבים והוכיחו אותן בדרכים שונות.

  • במידת הצורך, ניתן להיעזר במדרגה 1.
]]> הפרש ריבועים – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%94%d7%a4%d7%a8%d7%a9-%d7%a8%d7%99%d7%91%d7%95%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Mon, 29 Nov 2021 09:00:44 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8432

הפרש ריבועים - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

לפניכם שלוש דוגמאות של הפרש ריבועים של מספרים עוקבים:

\(3^2-2^2=5\)

\(6^2-5^2=11\)

\(11^2-10^2=21\)

הסיקו מסקנות לגבי הפרש ריבועים של מספרים עוקבים והוכיחו אותן בדרכים שונות.

מדרגה 1

  • ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

מדרגה 2

  • ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון למדרגה 1

  • בסרגל הגרירה ניתן לשנות את הערך \(a\), שמייצג את הערך הקטן בין שני המספרים העוקבים.

יישומון למדרגה 2

  • ניתן לשנות את כמות העיגולים הוורודים בעזרת סרגל הגרירה שמשמאל.
  • ניתן לשנות את מיקום העיגולים האפורים בעזרת סרגל הגרירה התחתון.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שני.

סוג המשימה

  • משימה פתוחה.
  • ריבוי דרכי פתרון.

הידע הדרוש

  • תכונות של מספרים שלמים.
  • מספרים עוקבים.
  • נוסחאות כפל מקוצר.

מה נלמד

  • תכונה של מספרים עוקבים.

הדגשים ומטרות

  • הצגת דרכים שונות לפתרון.

דירוג אתגר מתמטי

  • שני יישומונים. כל יישומון מתייחס לדרך פתרון אחרת .

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את תשובותיהם ואת הדרכים השונות לפתרון.
  • כל דרך נכונה ותשובה נכונה מתקבלים.

תשובה אפשרית:

מסקנה \(Ⅰ\): הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

מסקנה \(Ⅱ\): הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא מספר אי זוגי.

הצעות לפתרונות:

דרך א

אם שני מספרים עוקבים, אז אחד זוגי והשני אי זוגי.

ריבוע של מספר זוגי, הוא מספר זוגי.

ריבוע של מספר אי זוגי, הוא מספר אי זוגי.

והפרש בין שני מספרים, שהאחד זוגי והשני אי זוגי, הוא תמיד אי זוגי.

לכן, הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא מספר אי זוגי.

\(\space\)

דרך ב

בעזרת הנוסחה \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) ושיקולי זוגיות ואי זוגיות.

כאשר \(a\) עוקב של \(b\) הפרשם 1, ולכן, הפרש הריבועים שלהם שווה לסכומם.

מכיוון שהמספרים עוקבים, אחד מהם זוגי והאחר אי זוגי, לכן סכומם אי זוגי.

\(\space\)

דרך ג

בדרך אלגברית, בעזרת הנוסחה \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

נסמן את המספרים ב-\(n\) וב- \(n+1\) (\(n\) מספר טבעי).

\((n+1)^2-n^2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1\)

לכל \(n\) שהוא מספר טבעי, \(2n+1\) הוא מספר אי זוגי.

והפרש הריבועים של המספרים העוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

\(\space\)

דרך ד

בדרך אלגברית, בעזרת הנוסחה \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

נסמן את המספרים העוקבים ב-\(n\) וב- \(n+1\) (\(n\) מספר טבעי).

\((n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1\)

לכל \(n\) שהוא מספר טבעי, \(2n+1\) הוא מספר אי זוגי.

הפרש הריבועים של המספרים העוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

דרך ה

שטח הריבוע הגדול \(EHGD\):  \((a+1)^2\)

שטח הריבוע הקטן: \(ABCD\): \(a^2\)

שטח ההפרש ביניהם, שווה לשטחים של: \(BFGC+IHFB+EIBA\)

שזה: \(a\cdot 1+1\cdot 1+a\cdot 1=2a+1\)

דרך ו

בעזרת חוקיות/ סדרות

דוגמה: \(4^2-3^2=2\cdot 3+1=7\)

]]> פונקציה קווית ומצולעים – מדרגה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%a4%d7%95%d7%a0%d7%a7%d7%a6%d7%99%d7%94-%d7%a7%d7%95%d7%95%d7%99%d7%aa-%d7%95%d7%9e%d7%a6%d7%95%d7%9c%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9e%d7%93%d7%a8%d7%92%d7%94/ Mon, 29 Nov 2021 08:27:13 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8403

פונקציה קווית ומצולעים - מדרגה

משימה

בסרטוט שלפניכם נתונות הפונקציות:
\(f(x)=2x\space\space\space\space\space\) ,
\(k>0 \space\space, \space\space g(x)=2x-k\)

בנקודה \(E(2,0)\) ובנקודה \(B\) העבירו קטעים המקבילים לציר ה- \(y\).

נתון כי שטח משולש \(EBC\) הוא 9 יחידות שטח.

  1. מצאו בסרטוט כמה שיותר מצולעים.
  2. מצאו את השטח של כל אחד מהמצולעים שמצאתם בסעיף א'.

מדרגה

  • ניתן להיעזר ביישומון.
יישומון
  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
  • הזינו שם מצולע, בתיבה למטה, ולחצו על \(Enter\) כדי לקבל את שטח המצולע.

משימה

]]> פונקציה קווית ומצולעים https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%a4%d7%95%d7%a0%d7%a7%d7%a6%d7%99%d7%94-%d7%a7%d7%95%d7%95%d7%99%d7%aa-%d7%95%d7%9e%d7%a6%d7%95%d7%9c%d7%a2%d7%99%d7%9d/ Mon, 29 Nov 2021 08:26:28 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8401

פונקציה קווית ומצולעים

משימה

בסרטוט שלפניכם נתונות הפונקציות:
\(f(x)=2x\space\space\space\space\space\) ,
\(k>0 \space\space, \space\space g(x)=2x-k\)

בנקודה \(E(2,0)\) ובנקודה \(B\) העבירו קטעים המקבילים לציר ה- \(y\).

נתון כי שטח משולש \(EBC\) הוא 9 יחידות שטח.

  1. מצאו בסרטוט כמה שיותר מצולעים.
  2. מצאו את השטח של כל אחד מהמצולעים שמצאתם בסעיף א'.

יישומון

  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
]]> פונקציה קווית ומצולעים – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%a4%d7%95%d7%a0%d7%a7%d7%a6%d7%99%d7%94-%d7%a7%d7%95%d7%95%d7%99%d7%aa-%d7%95%d7%9e%d7%a6%d7%95%d7%9c%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Mon, 29 Nov 2021 03:34:09 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8369

פונקציה קווית ומצולעים - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

בסרטוט שלפניכם נתונות הפונקציות:
\(f(x)=2x\space\space\space\space\space\) ,
\(k>0 \space\space, \space\space g(x)=2x-k\)

בנקודה \(E(2,0)\) ובנקודה \(B\) העבירו קטעים המקבילים לציר ה- \(y\).

נתון כי שטח משולש \(EBC\) הוא 9 יחידות שטח.

  1. מצאו בסרטוט כמה שיותר מצולעים.
  2. מצאו את השטח של כל אחד מהמצולעים שמצאתם בסעיף א'.

מדרגה

  • ניתן להיעזר ביישומון.

יישומון

  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.

יישומון למדרגה

  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
  • הזינו שם מצולע, בתיבה למטה, ולחצו על \(Enter\) כדי לקבל את שטח המצולע.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שלישי.

סוג המשימה

  • ריבוי מקרים – מצולעים רבים.
  • דרכים שונות לפתרון.
  • משימה מקשרת בין אלגברה וגאומטריה.

הידע הדרוש

  • תכונות הפונקציה קווית והזזות של פונקציה קווית.
  • חישוב אורכי קטעים מקבילים לצירים במערכת צירים.
  • זיהוי מצולעים שונים (משולשים, טרפזים, מקביליות).
  • מציאת שטחים של משולשים, טרפזים, מקביליות.
  • ניתן להיעזר בתכונות של משולשים דומים.

מה נלמד

  • זיהוי מצולעים שונים במערכת צירים.
  • זיהוי משולשים דומים במערכת צירים.
  • חישוב שטחים של מצולעים שונים המשורטטים במערכת הצירים.

הדגשים ומטרות

  • השפעה של הזזה אנכית על הביטוי של פונקציה קווית ועל הגרף שלה.
  • קשרים בין תכונות של צורות גיאומטריות לבין תכונות של פונקציה קווית.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפנייה ליישומון.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים:
    כל קבוצת תלמידים תזהה מצולע בסרטוט ותסביר כיצד מצאה את שטחו (ניתן לעשות תחרות בין הקבוצות – איזו קבוצה מצאה את המספר הרב ביותר של מצולעים).

הצעות לפתרונות:

דרך א

מציאת שיעורי נקודות \(A, B, C, D, F\):
\(F(2,4)\space\space ,\space\space B(0.5k,0)\space\space ,\space\space A(0.5k,k)\space\space ,\space\space D(0,-k)\space\space ,\space\space C(2,4-k)\)

מציאת אורכי קטעים:
\(OB=0.5k\space\space ,\space\space AB=k\space\space ,\space\space EB=0.5k-2\space\space ,\space\space EC=k-4\)

מציאת k
\(\Large\frac{(0.5k-2)\cdot(k-4)}{2}\normalsize=9\)
\(k=10\space\space\space\space\space\)

מצולעים ושטחיהם:

משולשים: \(S_{\triangle ODB}=S_{\triangle OBA}=25\space\space ,\space\space S_{\triangle OEF}=4\)

מקביליות: \(S_{OABD}=50\space\space ,\space\space S_{FCBA}=30\space\space ,\space\space S_{OFCD}=20\)

טרפזים ישרי זווית: \(S_{FEBA}=21\space\space ,\space\space S_{OECD}=16\)

דרך ב

מציאת שיעורי נקודות \(A, B, C, D, F\):
\(F(2,4)\space\space ,\space\space B(0.5k,0)\space\space ,\space\space A(0.5k,k)\space\space ,\space\space D(0,-k)\space\space ,\space\space C(2,4-k)\)

מציאת אורכי קטעים:
\(OB=0.5k\space\space ,\space\space AB=k\)

מציאת k
\(\Large\frac{0.5k\cdot k}{2}\normalsize=25\)
\(k=10\space\space\space\space\space\)

מצולעים ושטחיהם:

משולשים: \(S_{\triangle ODB}=S_{\triangle OBA}=25\space\space ,\space\space S_{\triangle OEF}=4\space\space ,\space\space S_{\triangle FCB}=9\)

מקביליות: \(S_{OABD}=50\space\space ,\space\space S_{FCBA}=30\space\space ,\space\space S_{OFCD}=20\)

טרפזים ישרי זווית: \(S_{FEBA}=21\space\space ,\space\space S_{OECD}=16\)

]]> קטעים שווים במלבן – מדרגה 2 https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%a7%d7%98%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%a9%d7%95%d7%95%d7%99%d7%9d-%d7%91%d7%9e%d7%9c%d7%91%d7%9f-%d7%9e%d7%93%d7%a8%d7%92%d7%94-2/ Thu, 25 Nov 2021 05:56:54 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8314

קטעים שווים במלבן - מדרגה 2

משימה

ABCD הוא מלבן.
\(E\) ו-\(F\) הן נקודות על ישר \(BC\) כך ש: \(AE=DF\).

  1. סרטטו סרטוט בהתאם לנתונים, התייחסו לאפשרויות שונות למיקום של נקודות \(E\) ו- \(F\).
  2. מצאו קטעים שווים בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם, נמקו תשובתכם בדרכים שונות.
  3. מצאו כמה מרובעים אפשר למצוא בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם.

מדרגה 2

  • לפניכם סרטוט אחד אפשרי. סרטטו עוד סרטוטים אפשריים:

יישומון

  • ניתן לרשום שמות מצולעים/קטעים בשדות המתאימים בתחתית היישומון (במקום "Empty").
  • בחירה ב"צבע" תצבע את שטח המצולע.
  • בחירה ב"שטח" תציג את שטח המצולע ובחירה ב"גודל" תציג את אורך הקטע.
  • ניתן לגרור את הקודקודים A, B, E ולשנות את הצלעות.
  • ניתן לבחור ב"מצב נוסף" ולהציג סרטוט אפשרי נוסף.

משימה

מדרגה 1

]]> קטעים שווים במלבן – מדרגה 1 https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%a7%d7%98%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%a9%d7%95%d7%95%d7%99%d7%9d-%d7%91%d7%9e%d7%9c%d7%91%d7%9f-%d7%9e%d7%93%d7%a8%d7%92%d7%94-1/ Thu, 25 Nov 2021 05:56:48 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8313

קטעים שווים במלבן - מדרגה 1

משימה

ABCD הוא מלבן.
\(E\) ו-\(F\) הן נקודות על ישר \(BC\) כך ש: \(AE=DF\).

  1. סרטטו סרטוט בהתאם לנתונים, התייחסו לאפשרויות שונות למיקום של נקודות \(E\) ו- \(F\).
  2. מצאו קטעים שווים בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם, נמקו תשובתכם בדרכים שונות.
  3. מצאו כמה מרובעים אפשר למצוא בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם.

מדרגה 1

  • היעזרו ביישומון המצורף.

יישומון

  • ניתן לרשום שמות מצולעים/קטעים בשדות המתאימים בתחתית היישומון (במקום "Empty").
  • בחירה ב"צבע" תצבע את שטח המצולע.
  • בחירה ב"שטח" תציג את שטח המצולע ובחירה ב"גודל" תציג את אורך הקטע.
  • ניתן לגרור את הקודקודים A, B, E ולשנות את הצלעות.
  • ניתן לבחור ב"מצב נוסף" ולהציג סרטוט אפשרי נוסף.

משימה

]]> קטעים שווים במלבן https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9b%d7%99%d7%aa%d7%95%d7%aa-%d7%98/%d7%a7%d7%98%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%a9%d7%95%d7%95%d7%99%d7%9d-%d7%91%d7%9e%d7%9c%d7%91%d7%9f/ Thu, 25 Nov 2021 05:53:27 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8308

קטעים שווים במלבן

משימה

ABCD הוא מלבן.
\(E\) ו-\(F\) הן נקודות על ישר \(BC\) כך ש: \(AE=DF\).

  1. סרטטו סרטוט בהתאם לנתונים, התייחסו לאפשרויות שונות למיקום של נקודות \(E\) ו- \(F\).
  2. מצאו קטעים שווים בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם, נמקו תשובתכם בדרכים שונות.
  3. מצאו כמה מרובעים אפשר למצוא בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם.
]]>