שלוש נקודות – מפת"ח מתמטי

שלוש נקודות ד – מדרגה 2

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 18:41:52 +0000

שלוש נקודות - חלק ד - מדרגה 2

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(3,2)\space\space,\space\space B(3,-4)\space\space,\space\space C(7,1)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו שלוש נקודות היוצרות משולש ששטחו שווה לחצי משטח המשולש ABC, כך ששתיים מהנקודות נמצאות על הישר AB.
האם התשובה לסעיף ב' היא תשובה יחידה?
אם כן, נמקו תשובתכם,
אם לא, תארו דרכים שונות למציאת שלוש נקודות על פי התנאים המפורטים בסעיף ב' והביאו דוגמאות לנקודות כאלו.
תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

מדרגה 2

מדרגה לסעיף ב':

מצאו נקודה F על הישר AB כך ששטח משולש AFC שווה לחצי משטח משולש ABC.
האם יש אפשרויות נוספות לנקודה F?

תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, לחצו על הכפתור "משולש" ליצירת משולש AFC.
ניתן לגרור את הנקודה F ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש AFC מתעדכן בהתאם.

משימה

מדרגה 1

שלוש נקודות ד – מדרגה 1

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 18:41:06 +0000

שלוש נקודות - חלק ד - מדרגה 1

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(3,2)\space\space,\space\space B(3,-4)\space\space,\space\space C(7,1)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו שלוש נקודות היוצרות משולש ששטחו שווה לחצי משטח המשולש ABC, כך ששתיים מהנקודות נמצאות על הישר AB.
האם התשובה לסעיף ב' היא תשובה יחידה?
אם כן, נמקו תשובתכם,
אם לא, תארו דרכים שונות למציאת שלוש נקודות על פי התנאים המפורטים בסעיף ב' והביאו דוגמאות לנקודות כאלו.
תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

מדרגה 1

מדרגה לסעיף ב':

מצאו נקודה K כך ששטח משולש ABK שווה לחצי משטח משולש ABC.
האם יש אפשרויות נוספות לנקודה K?

תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

במידת הצורך היעזרו במדרגה 2.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודה K: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה K מופיעה במערכת הצירים, לחצו על הכפתור "משולש" ליצירת משולש ABK.
ניתן לגרור את הנקודה K ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש ABK מתעדכן בהתאם.

משימה

שלוש נקודות ד

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 18:35:43 +0000

שלוש נקודות - חלק ד

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(3,2)\space\space,\space\space B(3,-4)\space\space,\space\space C(7,1)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו שלוש נקודות היוצרות משולש ששטחו שווה לחצי משטח המשולש ABC, כך ששתיים מהנקודות נמצאות על הישר AB.
האם התשובה לסעיף ב' היא תשובה יחידה?
אם כן, נמקו תשובתכם,
אם לא, תארו דרכים שונות למציאת שלוש נקודות על פי התנאים המפורטים בסעיף ב' והביאו דוגמאות לנקודות כאלו.
תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

במידת הצורך היעזרו במדרגה 1.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודות D, E, F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודות D, E, F מופיעות במערכת הצירים, לחצו על הכפתור "משולש" ליצירת משולש DEF.
ניתן לגרור את הנקודות D, E, F ולשנות את שיעוריהן. שטח המשולש DEF מתעדכן בהתאם.

שלוש נקודות ד – למורה

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 12:20:20 +0000

שלוש נקודות - חלק ד - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

משימה
- מדרגה 1
- מדרגה 2

محتوى المهمة

مهمة
- درجة 1
- درجة 2

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(3,2)\space\space,\space\space B(3,-4)\space\space,\space\space C(7,1)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו שלוש נקודות היוצרות משולש ששטחו שווה לחצי משטח המשולש ABC, כך ששתיים מהנקודות נמצאות על הישר AB.
האם התשובה לסעיף ב' היא תשובה יחידה?
אם כן, נמקו תשובתכם,
אם לא, תארו דרכים שונות למציאת שלוש נקודות על פי התנאים המפורטים בסעיף ב' והביאו דוגמאות לנקודות כאלו.
תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

מדרגה 1

מדרגה לסעיף ב':

מצאו נקודה K כך ששטח משולש ABK שווה לחצי משטח משולש ABC.
האם יש אפשרויות נוספות לנקודה K?

תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

מדרגה 2

מדרגה לסעיף ב':

מצאו נקודה F על הישר AB כך ששטח משולש AFC שווה לחצי משטח משולש ABC.
האם יש אפשרויות נוספות לנקודה F?

תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון למשימה

סמנו את שיעורי הנקודות D, E, F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודות D, E, F מופיעות במערכת הצירים, לחצו על הכפתור "משולש" ליצירת משולש DEF.
ניתן לגרור את הנקודות D, E, F ולשנות את שיעוריהן. שטח המשולש DEF מתעדכן בהתאם.

יישומון למדרגה 1

סמנו את שיעורי הנקודה K: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה K מופיעה במערכת הצירים, לחצו על הכפתור "משולש" ליצירת משולש ABK.
ניתן לגרור את הנקודה K ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש ABK מתעדכן בהתאם.

יישומון למדרגה 2

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, לחצו על הכפתור "משולש" ליצירת משולש AFC.
ניתן לגרור את הנקודה F ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש AFC מתעדכן בהתאם.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

כיתה ח', שליש שלישי.

סוג המשימה

ריבוי תשובות.
פתרון בדרכים שונות.
משימה המקשרת בין גאומטריה לאלגברה.

הידע הדרוש

סימון נקודות במערכת צירים.
חישוב שטח של משולש.
חישוב אורכי קטעים במערכת צירים המקבילים לצירים.

מה נלמד

מאפיינים של משולשים בעלי יחס מסוים בין שטחיהם.

הדגשים ומטרות

התמודדות עם שאלות בעלות תשובות רבות וניתוחן, כשמתחילים עם מקרה פרטי ועוברים להכללה.

דירוג אתגר מתמטי

הפניה לאפשרות להיעזר ביישומונים.

מערך דידקטי מומלץ

פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
דיונים כיתתיים:
- התלמידים יציגו את תשובותיהם ואת הדרכים השונות לפתרון לסעיף א'.
- תלמידים מציגים את תשובותיהם לסעיף ב'.
- דיון בסעיף ג' והגעה להכללה.

הצעות לפתרונות:

סעיף א'

שטח המשולש הוא 12 יחידות שטח.

סעיפים ב' ו- ג'

חלק מהאפשרויות:

תאור חלק מהאפשרויות:

אורך צלע של המשולש המבוקש הנמצאת על הישר AB:

מיקום הקודקוד השלישי יכול להיות על אחד משני ישרים מקבילים לצלע AB הנמצאים ממנה במרחק: \(h_1\) (גובה המשולש הנתון)

דוגמאות

א.

צלע המונחת על הישר AB תהיה שווה באורכה לצלע AB, וגובה המשולש יהיה חצי מגובה המשולש ABC, כלומר הקודקוד השלישי יכול להיות על אחד משני ישרים המקבילים לישר AB ובמרחק חצי מגובה המשולש ABC.

\(AB\)

\(0.5h_1\)

ב.

צלע המונחת על הישר AB תהיה שווה לחצי מאורך הצלע AB, וגובה המשולש יהיה שווה לגובה המשולש ABC, כלומר הקודקוד השלישי יכול להיות על אחד משני ישרים המקבילים לישר AB ובמרחק השווה לגובה המשולש ABC.

\(0.5AB\)

\(h_1\)

ג.

צלע המונחת על הישר AB תהיה גדולה פי 2 מאורך הצלע AB, וגובה המשולש יהיה רבע מגובה המשולש ABC, כלומר הקודקוד השלישי יכול להיות על אחד משני ישרים המקבילים לישר AB ובמרחק רבע מגובה המשולש ABC.

\(2AB\)

\(0.25h_1\)

ד.

צלע המונחת על הישר AB תהיה שווה לרבע מאורך הצלע AB, וגובה המשולש יהיה גדול פי 2 מגובה המשולש ABC, כלומר הקודקוד השלישי יכול להיות על אחד משני ישרים המקבילים לישר AB ובמרחק שהוא כפליים מגובה המשולש ABC.

\(0.25AB\)

\(2h_1\)

ה.

ובאופן כללי: אם אורך הצלע המונחת על הישר AB אורכה שווה ל: \(k\cdot AB\space,\space k>0\) אז אורך גובה המשולש ABC היוצא מקודקוד C יהיה מוכפל ב- \(\large\frac{1}{2k}\). כלומר הקודקוד השלישי יכול להיות על אחד משני ישרים המקבילים לישר AB ובמרחק שהוא \(\large\frac{1}{2k}\) מגובה המשולש ABC היוצא מקודקוד C.

\(k\cdot AB\)

\(k>0\)

\(\large\frac{1}{2k}\cdot\normalsize h_1\)

הערה:

שימו לב שהקודקודים של המשולש שנוצר, שנמצאים על הישר העובר דרך נקודות A ו- B, לא חייבים להימצא על הצלע AB.

שלוש נקודות ג – מדרגה 2

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 08:00:49 +0000

שלוש נקודות - חלק ג - מדרגה 2

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(5,0)\space\space,\space\space B(0,0)\space\space,\space\space C(6,4.5)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו את אורך הגובה לצלע BC.
נתונה נקודה \(G(-1,3)\). נקודה זו מקיימת: \(S_{\triangle{CBG}}=S_{\triangle{CBA}}\).
האם ישנה נקודה נוספת F המקיימת \(S_{\triangle{CBF}}=S_{\triangle{CBA}}\)?
אם לא – נמקו תשובתכם, ואם כן – מצאו שיעורי נקודה/ נקודות נוספות ונמקו תשובתכם.

מדרגה

סעיף ב:
תוכלו לחשב את אורכה של צלע BC בעזרת משפט פיתגורס.
סעיף ג:
ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, ניתן לגרור אותה ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש BCF מתעדכן בהתאם.

משימה

מדרגה 1

שלוש נקודות ג – מדרגה 1

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 07:59:25 +0000

שלוש נקודות - חלק ג - מדרגה 1

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(5,0)\space\space,\space\space B(0,0)\space\space,\space\space C(6,4.5)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו את אורך הגובה לצלע BC.
נתונה נקודה \(G(-1,3)\). נקודה זו מקיימת: \(S_{\triangle{CBG}}=S_{\triangle{CBA}}\).
האם ישנה נקודה נוספת F המקיימת \(S_{\triangle{CBF}}=S_{\triangle{CBA}}\)?
אם לא – נמקו תשובתכם, ואם כן – מצאו שיעורי נקודה/ נקודות נוספות ונמקו תשובתכם.

מדרגה

סעיף ב:
תוכלו לחשב את אורכה של צלע BC בעזרת משפט פיתגורס.
סעיף ג:
ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

במידת הצורך היעזרו במדרגה 2.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, ניתן לגרור אותה ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש BCF מתעדכן בהתאם.

משימה

שלוש נקודות ג

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 07:55:19 +0000

שלוש נקודות - חלק ג

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(5,0)\space\space,\space\space B(0,0)\space\space,\space\space C(6,4.5)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו את אורך הגובה לצלע BC.
נתונה נקודה \(G(-1,3)\). נקודה זו מקיימת: \(S_{\triangle{CBG}}=S_{\triangle{CBA}}\).
האם ישנה נקודה נוספת F המקיימת \(S_{\triangle{CBF}}=S_{\triangle{CBA}}\)?
אם לא – נמקו תשובתכם, ואם כן – מצאו שיעורי נקודה/ נקודות נוספות ונמקו תשובתכם.

במידת הצורך היעזרו במדרגה 1.

שלוש נקודות ג – למורה

mathkey — Sun, 04 Jul 2021 05:44:03 +0000

שלוש נקודות - חלק ג - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

משימה
- מדרגה 1
- מדרגה 2

محتوى المهمة

مهمة
- درجة 1
- درجة 2

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(5,0)\space\space,\space\space B(0,0)\space\space,\space\space C(6,4.5)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו את אורך הגובה לצלע BC.
נתונה נקודה \(G(-1,3)\). נקודה זו מקיימת: \(S_{\triangle{CBG}}=S_{\triangle{CBA}}\).
האם ישנה נקודה נוספת F המקיימת \(S_{\triangle{CBF}}=S_{\triangle{CBA}}\)?
אם לא – נמקו תשובתכם, ואם כן – מצאו שיעורי נקודה/ נקודות נוספות ונמקו תשובתכם.

מדרגות

סעיף ב:
תוכלו לחשב את אורכה של צלע BC בעזרת משפט פיתגורס.
סעיף ג:
ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון למדרגה 1

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, ניתן לגרור אותה ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש BCF מתעדכן בהתאם.

יישומון למדרגה 2

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, ניתן לגרור אותה ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש BCF מתעדכן בהתאם.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

כיתה ח', שליש שלישי.
מקומה של משימה זו לאחר המשימות שלוש נקודות חלק א' וחלק ב'.

סוג המשימה

ריבוי תשובות.
משימה המקשרת בין גאומטריה לאלגברה.

הידע הדרוש

סימון נקודות במערכת צירים.
חישוב גובה ושטח של משולש.
חישוב אורכי קטעים במערכת צירים המקבילים לצירים.
משפט פיתגורס.
מציאת שיפוע של ישר.
מציאת ביטוים לפונקציות קוויות מקבילות על פי שיפוע ונקודה.
מרחק בין קווים מקבילים.

מה נלמד

מה מאפיין משולשים בעלי צלע משותפת ושטח שווה.

הדגשים ומטרות

התמודדות עם שאלות בעלות תשובות רבות וניתוחן, כשמתחילים עם מקרה פרטי ועוברים להכללה.

דירוג אתגר מתמטי

הפניה לאפשרות להיעזר ביישומונים.

מערך דידקטי מומלץ

פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
דיונים כיתתיים:
- התלמידים יציגו את תשובותיהם ואת הדרכים השונות לפתרון לסעיף א'.
- תלמידים מציגים את תשובותיהם לסעיף ב'.
- דיון בסעיף ג' והגעה להכללה.

הצעות לפתרונות:

סעיף א'

שטח המשולש הוא 11.25 יחידות שטח.

סעיף ב'

מציאת BC על פי משפט פיתגורס: \(\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5\)

לכן הגובה לצלע BC שווה ל: \(\large\frac{2\cdot 11.25}{7.5}\normalsize=3\).

סעיף ג'

על סמך המשימות שלוש נקודות חלק א' וחלק ב' נצפה שתלמידים יבינו כי קיימות נקודות נוספות והן נמצאות על שני ישרים המקבילים לישר BC ובמרחק 3 יחידות ממנו.

נמצא את משוואת הישר העובר בנקודה G ומקביל לישר העובר בנקודות B ו- C:

לשם כך נחשב את שיפועו של BC: \(\large\frac{4.5}{6}\normalsize=0.75\)

ועל פי הנקודה הנתונה G משוואת הישר היא:

\(y=0.75x+3.75\),

ואז נקודה נוספת לדוגמא על ישר זה היא \((1,4.5)\).

ישר נוסף עובר דרך הקודקוד \((5,0)\) ולכן משוואת הישר השני: \(y=0.75x-3.75\)

ואז נקודה נוספת לדוגמא על ישר זה היא \((9,3)\).

שלוש נקודות ב – מדרגה 2

mathkey — Sat, 03 Jul 2021 18:14:04 +0000

שלוש נקודות - חלק ב - מדרגה 2

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(-1,2)\space\space,\space\space B(-1,3)\space\space,\space\space C(2,2)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו נקודה F כך ש: \(S_{ABC}=S_{ABF}\)
האם התשובה לסעיף ב' היא תשובה יחידה? נמקו תשובתכם.

מדרגה

ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, ניתן לגרור אותה ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש ABF מתעדכן בהתאם.

משימה

מדרגה 1

שלוש נקודות ב – מדרגה 1

mathkey — Sat, 03 Jul 2021 18:13:47 +0000

שלוש נקודות - חלק ב - מדרגה 1

משימה

נתונות שלוש נקודות: \(A(-1,2)\space\space,\space\space B(-1,3)\space\space,\space\space C(2,2)\)

מצאו את שטח משולש ABC.
מצאו נקודה F כך ש: \(S_{ABC}=S_{ABF}\)
האם התשובה לסעיף ב' היא תשובה יחידה? נמקו תשובתכם.

מדרגה

ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

במידת הצורך היעזרו במדרגה 2.

יישומון

סמנו את שיעורי הנקודה F: השלימו את שיעור x ואת שיעור y. לחצו Enter.
כשהנקודה F מופיעה במערכת הצירים, ניתן לגרור אותה ולשנות את שיעוריה. שטח המשולש ABF מתעדכן בהתאם.

משימה