מורים – מפת"ח מתמטי https://mathkey.haifa.ac.il משימות פתוחות לפיתוח חשיבה מתמטית Sun, 30 Mar 2025 08:00:58 +0000 he-IL hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.8.1 https://mathkey.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2020/03/cropped-mathkey-icon_512x512-32x32.jpg מורים – מפת"ח מתמטי https://mathkey.haifa.ac.il 32 32 הפרש ריבועים – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%94%d7%a4%d7%a8%d7%a9-%d7%a8%d7%99%d7%91%d7%95%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Mon, 29 Nov 2021 09:00:44 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8432

הפרש ריבועים - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

לפניכם שלוש דוגמאות של הפרש ריבועים של מספרים עוקבים:

\(3^2-2^2=5\)

\(6^2-5^2=11\)

\(11^2-10^2=21\)

הסיקו מסקנות לגבי הפרש ריבועים של מספרים עוקבים והוכיחו אותן בדרכים שונות.

מדרגה 1

  • ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

מדרגה 2

  • ניתן להיעזר ביישומון המצורף.

יישומון למדרגה 1

  • בסרגל הגרירה ניתן לשנות את הערך \(a\), שמייצג את הערך הקטן בין שני המספרים העוקבים.

יישומון למדרגה 2

  • ניתן לשנות את כמות העיגולים הוורודים בעזרת סרגל הגרירה שמשמאל.
  • ניתן לשנות את מיקום העיגולים האפורים בעזרת סרגל הגרירה התחתון.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שני.

סוג המשימה

  • משימה פתוחה.
  • ריבוי דרכי פתרון.

הידע הדרוש

  • תכונות של מספרים שלמים.
  • מספרים עוקבים.
  • נוסחאות כפל מקוצר.

מה נלמד

  • תכונה של מספרים עוקבים.

הדגשים ומטרות

  • הצגת דרכים שונות לפתרון.

דירוג אתגר מתמטי

  • שני יישומונים. כל יישומון מתייחס לדרך פתרון אחרת .

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את תשובותיהם ואת הדרכים השונות לפתרון.
  • כל דרך נכונה ותשובה נכונה מתקבלים.

תשובה אפשרית:

מסקנה \(Ⅰ\): הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

מסקנה \(Ⅱ\): הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא מספר אי זוגי.

הצעות לפתרונות:

דרך א

אם שני מספרים עוקבים, אז אחד זוגי והשני אי זוגי.

ריבוע של מספר זוגי, הוא מספר זוגי.

ריבוע של מספר אי זוגי, הוא מספר אי זוגי.

והפרש בין שני מספרים, שהאחד זוגי והשני אי זוגי, הוא תמיד אי זוגי.

לכן, הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא מספר אי זוגי.

\(\space\)

דרך ב

בעזרת הנוסחה \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) ושיקולי זוגיות ואי זוגיות.

כאשר \(a\) עוקב של \(b\) הפרשם 1, ולכן, הפרש הריבועים שלהם שווה לסכומם.

מכיוון שהמספרים עוקבים, אחד מהם זוגי והאחר אי זוגי, לכן סכומם אי זוגי.

\(\space\)

דרך ג

בדרך אלגברית, בעזרת הנוסחה \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

נסמן את המספרים ב-\(n\) וב- \(n+1\) (\(n\) מספר טבעי).

\((n+1)^2-n^2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1\)

לכל \(n\) שהוא מספר טבעי, \(2n+1\) הוא מספר אי זוגי.

והפרש הריבועים של המספרים העוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

\(\space\)

דרך ד

בדרך אלגברית, בעזרת הנוסחה \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

נסמן את המספרים העוקבים ב-\(n\) וב- \(n+1\) (\(n\) מספר טבעי).

\((n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1\)

לכל \(n\) שהוא מספר טבעי, \(2n+1\) הוא מספר אי זוגי.

הפרש הריבועים של המספרים העוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

דרך ה

שטח הריבוע הגדול \(EHGD\):  \((a+1)^2\)

שטח הריבוע הקטן: \(ABCD\): \(a^2\)

שטח ההפרש ביניהם, שווה לשטחים של: \(BFGC+IHFB+EIBA\)

שזה: \(a\cdot 1+1\cdot 1+a\cdot 1=2a+1\)

דרך ו

בעזרת חוקיות/ סדרות

דוגמה: \(4^2-3^2=2\cdot 3+1=7\)

]]> פונקציה קווית ומצולעים – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%a4%d7%95%d7%a0%d7%a7%d7%a6%d7%99%d7%94-%d7%a7%d7%95%d7%95%d7%99%d7%aa-%d7%95%d7%9e%d7%a6%d7%95%d7%9c%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Mon, 29 Nov 2021 03:34:09 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8369

פונקציה קווית ומצולעים - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

בסרטוט שלפניכם נתונות הפונקציות:
\(f(x)=2x\space\space\space\space\space\) ,
\(k>0 \space\space, \space\space g(x)=2x-k\)

בנקודה \(E(2,0)\) ובנקודה \(B\) העבירו קטעים המקבילים לציר ה- \(y\).

נתון כי שטח משולש \(EBC\) הוא 9 יחידות שטח.

  1. מצאו בסרטוט כמה שיותר מצולעים.
  2. מצאו את השטח של כל אחד מהמצולעים שמצאתם בסעיף א'.

מדרגה

  • ניתן להיעזר ביישומון.

יישומון

  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.

יישומון למדרגה

  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
  • הזינו שם מצולע, בתיבה למטה, ולחצו על \(Enter\) כדי לקבל את שטח המצולע.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שלישי.

סוג המשימה

  • ריבוי מקרים – מצולעים רבים.
  • דרכים שונות לפתרון.
  • משימה מקשרת בין אלגברה וגאומטריה.

הידע הדרוש

  • תכונות הפונקציה קווית והזזות של פונקציה קווית.
  • חישוב אורכי קטעים מקבילים לצירים במערכת צירים.
  • זיהוי מצולעים שונים (משולשים, טרפזים, מקביליות).
  • מציאת שטחים של משולשים, טרפזים, מקביליות.
  • ניתן להיעזר בתכונות של משולשים דומים.

מה נלמד

  • זיהוי מצולעים שונים במערכת צירים.
  • זיהוי משולשים דומים במערכת צירים.
  • חישוב שטחים של מצולעים שונים המשורטטים במערכת הצירים.

הדגשים ומטרות

  • השפעה של הזזה אנכית על הביטוי של פונקציה קווית ועל הגרף שלה.
  • קשרים בין תכונות של צורות גיאומטריות לבין תכונות של פונקציה קווית.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפנייה ליישומון.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים:
    כל קבוצת תלמידים תזהה מצולע בסרטוט ותסביר כיצד מצאה את שטחו (ניתן לעשות תחרות בין הקבוצות – איזו קבוצה מצאה את המספר הרב ביותר של מצולעים).

הצעות לפתרונות:

דרך א

מציאת שיעורי נקודות \(A, B, C, D, F\):
\(F(2,4)\space\space ,\space\space B(0.5k,0)\space\space ,\space\space A(0.5k,k)\space\space ,\space\space D(0,-k)\space\space ,\space\space C(2,4-k)\)

מציאת אורכי קטעים:
\(OB=0.5k\space\space ,\space\space AB=k\space\space ,\space\space EB=0.5k-2\space\space ,\space\space EC=k-4\)

מציאת k
\(\Large\frac{(0.5k-2)\cdot(k-4)}{2}\normalsize=9\)
\(k=10\space\space\space\space\space\)

מצולעים ושטחיהם:

משולשים: \(S_{\triangle ODB}=S_{\triangle OBA}=25\space\space ,\space\space S_{\triangle OEF}=4\)

מקביליות: \(S_{OABD}=50\space\space ,\space\space S_{FCBA}=30\space\space ,\space\space S_{OFCD}=20\)

טרפזים ישרי זווית: \(S_{FEBA}=21\space\space ,\space\space S_{OECD}=16\)

דרך ב

מציאת שיעורי נקודות \(A, B, C, D, F\):
\(F(2,4)\space\space ,\space\space B(0.5k,0)\space\space ,\space\space A(0.5k,k)\space\space ,\space\space D(0,-k)\space\space ,\space\space C(2,4-k)\)

מציאת אורכי קטעים:
\(OB=0.5k\space\space ,\space\space AB=k\)

מציאת k
\(\Large\frac{0.5k\cdot k}{2}\normalsize=25\)
\(k=10\space\space\space\space\space\)

מצולעים ושטחיהם:

משולשים: \(S_{\triangle ODB}=S_{\triangle OBA}=25\space\space ,\space\space S_{\triangle OEF}=4\space\space ,\space\space S_{\triangle FCB}=9\)

מקביליות: \(S_{OABD}=50\space\space ,\space\space S_{FCBA}=30\space\space ,\space\space S_{OFCD}=20\)

טרפזים ישרי זווית: \(S_{FEBA}=21\space\space ,\space\space S_{OECD}=16\)

]]> קטעים שווים במלבן – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%a7%d7%98%d7%a2%d7%99%d7%9d-%d7%a9%d7%95%d7%95%d7%99%d7%9d-%d7%91%d7%9e%d7%9c%d7%91%d7%9f-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Wed, 24 Nov 2021 13:34:05 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8290

קטעים שווים במלבן - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

ABCD הוא מלבן.
\(E\) ו-\(F\) הן נקודות על ישר \(BC\) כך ש: \(AE=DF\).

  1. סרטטו סרטוט בהתאם לנתונים, התייחסו לאפשרויות שונות למיקום של נקודות \(E\) ו- \(F\).
  2. מצאו קטעים שווים בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם, נמקו תשובתכם בדרכים שונות.
  3. מצאו כמה מרובעים אפשר למצוא בכל אחד מהסרטוטים שהצגתם.

מדרגה 1

  • היעזרו ביישומון המצורף.

מדרגה 2

  • לפניכם סרטוט אחד אפשרי. סרטטו עוד סרטוטים אפשריים:

יישומון

  • ניתן לרשום שמות מצולעים/קטעים בשדות המתאימים בתחתית היישומון (במקום "Empty").
  • בחירה ב"צבע" תצבע את שטח המצולע.
  • בחירה ב"שטח" תציג את שטח המצולע ובחירה ב"גודל" תציג את אורך הקטע.
  • ניתן לגרור את הקודקודים A, B, E ולשנות את הצלעות.
  • ניתן לבחור ב"מצב נוסף" ולהציג סרטוט אפשרי נוסף.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שני.

סוג המשימה

  • תשובות מרובות.
  • דרכים שונות.

הידע הדרוש

  • תכונות מרובעים.
  • ארבעת משפטי חפיפת משולשים.

מה נלמד

  • העמקה וחידוד בנושא חפיפת משולשים.
  • הבנה וחידוד בנושא מרובעים.

הדגשים ומטרות

  • ניתוח נתונים, סרטוט והסקת מסקנות.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפנייה ליישומון.
  • הצגת אחת מהאפשרויות לסרטוט מתאים לנתונים.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיון כיתתי על סעיפי א' וב' בו התלמידים יציגו את תשובותיהם וינמקו.
  • על סעיף ג' ניתן לארגן תחרות קבוצתית. הקבוצה שתמצא הכי הרבה מרובעים תנצח.

הצעה לפתרון בהתאם לאחת מהאפשרויות:

א. סרטוט אפשרי:

ב. קטעים שווים בסרטוט: \(AG=GD, GE=GF, BE=CF, BF=EC\)

דרכי פתרון אפשריות:

דרך אחת: להתחיל בחפיפת משולשים \(\triangle BAE\cong \triangle CDF\),
ומכאן להסיק לגבי שוויון קטעים וזוויות ולהסיק לגבי משולשים שווי שוקיים.

דרך אחרת: להוסיף לסרטוט את הקטעים \(AF\), ו- \(DE\).
טרפז \(AFED\) הוא טרפז שווה שוקיים ומכאן להסיק שוויון קטעים
ולהמשיך בחפיפת משולשים: \(\triangle AFG\cong \triangle DEG\).

ג. המרובעים בסרטוט הם:
\(AFED\) – טרפז שווה שוקיים,
\(CEAD, BFDA, DCFA, ABED\) – טרפזים ישרי זווית
\(ABCD\) – המלבן הנתון.

]]> מרחק מבית הספר – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%9e%d7%a8%d7%97%d7%a7-%d7%9e%d7%91%d7%99%d7%aa-%d7%94%d7%a1%d7%a4%d7%a8-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Wed, 24 Nov 2021 10:58:54 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8196

מרחק מבית הספר - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

ביתו של ערן נמצא במרחק 200 מטר מבית הספר, וביתו של אלכס נמצא במרחק 300 מטר מביה״ס.

מהו המרחק בין הבתים של ערן ואלכס?

סמנו את המרחק בין הבתים של ערן ואלכס ב- \(S\) ורשמו את התשובה בעזרת \(S\).

מדרגה

  • ניתן להיעזר ביישומון.

יישומון למדרגה 1

  • ניתן לגרור את הנקודות המסמלות את ביתו של ערן ואת ביתו של אלכס.

יישומון למדרגה 2

  • ניתן לגרור את הנקודה המסמלת את ביתו של אלכס.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט'.

סוג המשימה

  • משימה בעלת תשובות רבות (אין-סוף תשובות בתחום מסויים).
  • הצגות שונות לדרך פתרון (סרטוט האפשרויות השונות של המיקום של ביה״ס והבתים וסימון המרחק ביניהם).

הידע הדרוש

  • המשפט: סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית (או: כל צלע במשולש קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות).
  • היכרות בסיסית עם מעגל.

מה נלמד

  • יישום בחיי יום יום של המשפט לגבי הקשר בין האורכים של צלעות במשולש.
  • לקבוצות ברמה גבוהה – התייחסות למעגל כמקום גיאומטרי.

הדגשים ומטרות

  • תכונות המעגל: רדיוס, קוטר.
  • שני מעגלים בעלי מרכז משותף ודיון – מדוע ביה״ס הוא מרכז של שני המעגלים.
  • בחינת המרחקים כאשר נוצרים משולשים, תוך שימוש במשפט הנ״ל.
  • התייחסות למרחקים שמתלכדים עם הקוטר והסבר מדוע המשפט אינו תקף במקרה זה.
  • ניתן לדעת רק את הטווח של המרחקים האפשריים ולא את המרחק המדויק (למעט בקצוות).

דירוג אתגר מתמטי

  • שימוש ביישומון.

מערך דידקטי מומלץ

  • עבודה בזוגות או בקבוצות.
  • הצגת דרכים שונות לפתרון (תרשים של האפשרויות).
  • הצגה של האופן שניתן להגיע לכל המרחקים האפשריים (שני מעגלים בעלי מרכז משותף, שהוא ביה״ס).

פתרונות

\(100≤S≤500\)

מצב א

מרחק מינימלי \(300-200=100\). כאשר יש התלכדות של הקטרים.

מצב ב

מרחק מקסימלי \(300+200=500\). הזווית בין הקטרים \(180^{\circ}\).

מצב ג

כל צלע במשולש, קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות. לכן, המרחק הוא כל מספר בין המרחק המינימלי 100, למרחק המקסימלי 500.

]]> קשרים בין זוויות וצלעות במשולש – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%96%d7%95%d7%95%d7%99%d7%95%d7%aa-%d7%95%d7%a6%d7%9c%d7%a2%d7%95%d7%aa-%d7%91%d7%9e%d7%a9%d7%95%d7%9c%d7%a9-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Wed, 24 Nov 2021 08:15:36 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8143

קשרים בין זוויות וצלעות במשולש - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

במשולש ADB נתון ש: \(AD≤BD\) , \(∡ADB=20°\).

על צלע AB בנו משולש שווה צלעות ABC, כך ש:
קודקוד C נמצא בתוך משולש ADB.

  1. מהו גודל הזווית DBC? נמקו.
  2. מהו גודל הזווית DAC? נמקו.

מדרגה

  • על מנת להגיע להכללה ניתן להתחיל בבדיקת מקרים פרטיים.
  • ניתן להיעזר ביישומון.

יישומון למשימה

  • ניתן לגרור את הקודקודים \(A\) , \(B\), \(D\).

יישומון למדרגה

  • ניתן לגרור את הקודקודים \(A\) , \(B\), \(D\).

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שני.

סוג המשימה

  • ריבוי תשובות בטווח מסויים.

הידע הדרוש

  • סכום זוויות במשולש.
  • במשולש, מול הצלע הגדולה, מונחת הזווית הגדולה במשולש.

מה נלמד

  • חידוד והעמקה בקשרים בין זוויות וצלעות במשולש.

הדגשים ומטרות

  • הסקת מסקנות והכללה.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפנייה לשימוש לבדיקת מקרים פרטיים ולשימוש ביישומון.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות). המורה יכול לנתב את התלמידים לשימוש במדרגות, או לאפשר לתלמידים להיעזר במדרגות בהתאם לרצונם.
  • דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את הפתרונות השונים ויסיקו מסקנות בהתאם לסעיפים השונים של המשימה.

הנחיות לפתרון

\(∡DBC + ∡DAC=40°\)

\(∡DBC≤ ∡DAC\) , לכן:

גודל \(∡DAC\) בין \(20°\) ל- \(40°\) \((20°≤∡DAC<40°)\).

גודל \(∡DBC\) בין \(0°\) ל- \(20°\) \((0°<∡DBC≤20°)\).

]]> תיכונים במשולש – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%aa%d7%99%d7%9b%d7%95%d7%a0%d7%99%d7%9d-%d7%91%d7%9e%d7%a9%d7%95%d7%9c%d7%a9-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Tue, 23 Nov 2021 10:30:31 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=8031

תיכונים במשולש - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

במשולש ABC, נעביר את שלושת התיכונים לצלעות המשולש (ראו סרטוט ביישומון).

  1. כמה משולשים ישנם בסרטוט?
  2. מיינו את המשולשים שבסרטוט בדרכים שונות.

מדרגה 1

  • מיינו את המשולשים לפי שטחם.
  • מצאו מאפיינים נוספים למיון המשולשים.

מדרגה 2

  • מצאו משולשים בעלי גבהים שווים.
  • מצאו מאפיינים נוספים למיון המשולשים.

מדרגה 3

  • מצאו משולשים בעלי גבהים משותפים.
  • מצאו מאפיינים נוספים למיון המשולשים.

יישומון למשימה

  • בטבלת המיון רשמו מאפיינים למיון משולשים וכן את את סוג המיון.
  • הקלידו שם משולש (למשל ABC) בתיבת הטקסט שנמצאת מימין לסרטוט המשולש, ולחצו על החץ שמימין לה.
    שם המשולש יופיע מתחת לתיבת הטקסט, וניתן לגרירה אל התא המתאים בטבלת המיון.

יישומון למדרגה 1

  • בטבלת המיון רשמו מאפיינים למיון משולשים וכן את את סוג המיון
  • הקלידו שם משולש (למשל ABC) בתיבת הטקסט שנמצאת מימין לסרטוט המשולש, ולחצו על החץ שמימין לה.
    שם המשולש יופיע מתחת לתיבת הטקסט, וניתן לגרירה אל התא המתאים בטבלת המיון.
  • באזור הקרוב לסרטוט המשולש, ניתן לרשום שמות משולשים. היישומון יחשב את שטחם ואת היחס בין השטחים.

יישומון למדרגות 2, 3

  • בטבלת המיון רשמו מאפיינים למיון משולשים וכן את את סוג המיון
  • הקלידו שם משולש (למשל ABC) בתיבת הטקסט שנמצאת מימין לסרטוט המשולש, ולחצו על החץ שמימין לה.
    שם המשולש יופיע מתחת לתיבת הטקסט, וניתן לגרירה אל התא המתאים בטבלת המיון.
  • בחלק הימני של היישומון ניתן לרשום שמות משולשים, ולחשב את שטחם ואת היחס בין השטחים שלהם בלחיצה על כפתור "חשב" (למטה).
    כמו כן, ניתן לרשום קודקודים של קצות קטע, ולחשב את אורך הקטע בלחיצה על כפתור "חשב" (למטה).

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שלישי.

סוג המשימה

  • ריבוי תשובות.
  • בעיית מיון.

הידע הדרוש

  • שטח של משולש.
  • תכונות של תיכונים במשולש.

מה נלמד

  • מציאת משולשים שווי שטח.

הדגשים ומטרות

  • התמודדות עם בעיות מיון.
  • תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח.
  • הגעה למסקנה ששלושת התיכונים מחלקים משולש לשישה משולשים שווי שטח.
  • נקודת המפגש של תיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפניה לבדיקת גבהים של משולשים.
  • הפניה לאפשרות להיעזר ביישומון.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את תשובותיהם ואת הדרכים השונות לפתרון. כל קבוצה תציג דרך אחת למיון משולשים.
  • כל דרך נכונה ותשובה נכונה מתקבלים.

הצעות למיונים:

מיון לפי שטחי המשולשים

מאפייןמשולשים ששטחם שווה לחצי משטח משולש \(ABC\)משולשים ששטחם שווה לשישית משטח משולש \(ABC\)משולשים ששטחם שווה לשליש משטח משולש \(ABC\)
שמות המשולשים\(\triangle BDC\)
\(\triangle BAD\)
\(\triangle BAE\)
\(\triangle AEC\)
\(\triangle BFC\)
\(\triangle AFC\)		\(\triangle MDC\)
\(\triangle MAD\)
\(\triangle MBE\)
\(\triangle MEC\)
\(\triangle MBF\)
\(\triangle MAF\)		\(\triangle BMC\)
\(\triangle BMA\)
\(\triangle CMA\)

משולשים בעלי גובה משותף

מאפייןגובה לצלע המונחת על ישר \(AC\)גובה לצלע המונחת על ישר \(AB\)גובה לצלע המונחת על ישר \(BC\)גובה לצלע המונחת על ישר \(BD\)גובה לצלע המונחת על ישר \(FC\)גובה לצלע המונחת על ישר \(AE\)
מקודקוד \(M\)מקודקוד \(M\)מקודקוד \(M\)מקודקוד \(C\)מקודקוד \(B\)מקודקוד \(C\)
שמות המשולשים\(\triangle CMD\)
\(\triangle AMD\)
\(\triangle MAC\)		\(\triangle AMF\)
\(\triangle BMF\)
\(\triangle BAM\)		\(\triangle BME\)
\(\triangle CME\)
\(\triangle BMC\)		\(\triangle BMC\)
\(\triangle CMD\)
\(\triangle BDC\)		\(\triangle BMF\)
\(\triangle BMC\)
\(\triangle BFC\)		\(\triangle AMC\)
\(\triangle EMC\)
\(\triangle EAC\)
מקודקוד \(B\)מקודקוד \(C\)מקודקוד \(A\)מקודקוד \(A\)מקודקוד \(A\)מקודקוד \(B\)
שמות המשולשים\(\triangle BDC\)
\(\triangle BAD\)
\(\triangle BAC\)		\(\triangle BFC\)
\(\triangle AFC\)
\(\triangle BAC\)		\(\triangle BAE\)
\(\triangle AEC\)
\(\triangle BAC\)		\(\triangle BMA\)
\(\triangle AMD\)
\(\triangle BAD\)		\(\triangle AMC\)
\(\triangle AMF\)
\(\triangle FAC\)		\(\triangle AMB\)
\(\triangle BME\)
\(\triangle BAE\)

משולשים בעלי גובה שווה ולא משותף

מאפייןגובה לצלע המונחת על ישר \(AC\)גובה לצלע המונחת על ישר \(AB\)גובה לצלע המונחת על ישר \(BC\)
שמות המשולשים\(\triangle AFC\)
\(\triangle AEC\)		\(\triangle BEA\)
\(\triangle BDA\)		\(\triangle BFC\)
\(\triangle BDC\)
]]> אמצעי צלעות במרובע – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%90%d7%9e%d7%a6%d7%a2%d7%99-%d7%a6%d7%9c%d7%a2%d7%95%d7%aa-%d7%91%d7%9e%d7%a8%d7%95%d7%91%d7%a2-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Mon, 22 Nov 2021 13:03:17 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=7935

אמצעי צלעות מרובע ואמצעי אלכסוניו - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

נתון טרפז.
נסמן את אמצעי צלעות הטרפז ואת אמצעי אלכסוניו (בסה"כ 6 נקודות).

נחבר 4 נקודות מתוך ה- 6 כך ששתיים מהן נמצאות על אלכסוני המרובע ושתיים על צלעות נגדיות של הטרפז.

  1. האם התקבל מרובע? נמקו תשובתכם.
  2. אם מתקבל מרובע, איזה מרובע מתקבל? נמקו תשובתכם.
  3. אם הטרפז הוא שווה שוקיים, האם תשובותיכם לסעיפים א' וב' תשתנינה?
    אם כן, כיצד? אם לא, נמקו מדוע לא.
  4. אם המרובע אינו טרפז, האם תשובותיכם לסעיפים א' ו-ב' תשתנינה?
    אם כן, כיצד? אם לא, נמקו מדוע לא.

מדרגה

  • תוכלו להיעזר ביישומון. לכל סעיף מצורף יישומון מתאים.
  • ניתן לחבר את אמצעי האלכסונים עם אמצעי השוקיים, או ניתן לחבר את אמצעי האלכסונים עם אמצעי הבסיסים.
  • האם יתכן שהמרובע שמתקבל הוא מקבילית? מלבן? מעוין? ריבוע? טרפז? דלתון?
    נמקו תשובותיכם.

יישומון לסעיפים א, ב – טרפז כלשהו

  • להזזת הקודקודים (A, B, C, D), יש לבחור ב-, ואז לגרור את הקודקוד המבוקש.
  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
  • למדידת גודל זווית, יש לבחור ב-, וללחוץ (לפי כיוון השעון!) על 3 הנקודות, שיוצרות את הזווית.

יישומון לסעיף ג – טרפז שווה שוקיים

  • להזזת הקודקודים (A, B, C, D), יש לבחור ב-, ואז לגרור את הקודקוד המבוקש.
  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
  • למדידת גודל זווית, יש לבחור ב-, וללחוץ (לפי כיוון השעון!) על 3 הנקודות, שיוצרות את הזווית.

יישומון לסעיף ד – מרובע כלשהו

  • להזזת הקודקודים (A, B, C, D), יש לבחור ב-, ואז לגרור את הקודקוד המבוקש.
  • לסימון קטע ומדידת אורכו, יש לבחור ב- , ולסמן שתי נקודות של קצות הקטע המבוקש.
  • למדידת גודל זווית, יש לבחור ב-, וללחוץ (לפי כיוון השעון!) על 3 הנקודות, שיוצרות את הזווית.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שלישי.

סוג המשימה

  • ריבוי מקרים וריבוי תשובות.
  • בעיית חקר.

הידע הדרוש

  • תכונות קטע אמצעים במשולש.
  • תכונות מרובעים.

מה נלמד

  • העמקה בתכונות מרובעים.

הדגשים ומטרות

  • התמודדות עם שאלות בעלות תשובות רבות וניתוחן.
  • זיהוי קטעי אמצעים בסרטוט מורכב.
  • התמודדות עם בעיית חקר.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפניה לבדיקת אפשרויות שונות.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את תשובותיהם, ואת דרכי הפתרון.

הצעות לפתרונות:

  1. בחיבור של אמצעי אלכסונים עם אמצעי השוקיים לא מתקבל מרובע אלא קו ישר.
  2. בחיבור של אמצעי האלכסונים עם אמצעי הבסיסים מתקבלת מקבילית. (אם המשכי השוקיים של הטרפז מאונכים יתקבל מלבן).
  3. התשובה לסעיף א' לא משתנה.
    תשובה לסעיף ב' – מתקבל מעוין (אם המשכי שוקיו של הטרפז השווה-שוקיים מאונכים יתקבל ריבוע).
  1. אם המרובע הוא ממשפחת המקביליות בסה"כ תהיינה רק חמש נקודות, ובחיבור הנקודות כנדרש, לא יתקבל מרובע, אלא קו ישר.
    במרובע כלשהו יהיו שתי אפשרויות לחיבור הנקודות ובכל מקרה תתקבל מקבילית.
    אם שתיים מהצלעות הנגדיות של המרובע שוות, יתקבל מעוין.
    אם שתיים מהצלעות הנגדיות של המרובע מאונכות, יתקבל מלבן.
    אם שתיים מהצלעות הנגדיות של המרובע יהיו שוות ומאונכות, יתקבל ריבוע.
    (ניתן ללחוץ ולהגדיל את התמונות)

]]> אלכסונים במרובע – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%90%d7%9c%d7%9b%d7%a1%d7%95%d7%a0%d7%99%d7%9d-%d7%91%d7%9e%d7%a8%d7%95%d7%91%d7%a2-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Thu, 18 Nov 2021 09:26:18 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=7673

אלכסונים במרובע - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

בפעילות זו תחקרו ארבע קבוצות של מרובעים:

  • מרובעים שאלכסוניהם שווים באורכם ומאונכים זה לזה.
  • מרובעים שאלכסוניהם שווים באורכם אך לא מאונכים זה לזה.
  • מרובעים שאלכסוניהם מאונכים זה לזה אך שונים באורכם.
  • מרובעים שאלכסוניהם שונים באורכם וגם לא מאונכים זה לזה.

שאלה 1

  1. נתונים שני קטעים שווים באורכם.
    נתון שאורך כל קטע הוא 5 ס"מ.
    I. אם נניח את הקטעים האלה כך שיהיו מאונכים זה לזה, וניצור מרובע שהקטעים האלה הם אלכסוניו – אילו מרובעים נוכל לקבל?
    II. האם יש תכונה שהיא משותפת לכל המרובעים שיכולים להתקבל?
    אם כן – תארו אותה.
    III. האם תשובותיכם לסעיפים הקודמים נכונות גם למקרה שאורך הקטעים
    שונה מ-5 ס"מ? אם לא – מה משתנה בתשובותיכם?
  2. נתונים שני קטעים שווים באורכם.
    נתון שאורך כל קטע הוא 5 ס"מ.
    I. אם נניח את הקטעים האלה כך שלא יהיו מאונכים זה לזה, וניצור מרובע
    שהקטעים האלה הם אלכסוניו – אילו מרובעים נוכל לקבל?
    II. האם יש תכונה שהיא משותפת לכל המרובעים שיכולים להתקבל?
    אם כן – תארו אותה.
    III. האם תשובותיכם לסעיפים הקודמים נכונות גם למקרה שאורך הקטעים
    שונה מ-5 ס"מ? אם לא – מה משתנה בתשובותיכם?

שאלה 2

  1. נתונים שני קטעים שונים באורכם.
    נתון שאורכי הקטעים הם 5 ס"מ ו-7 ס"מ.
    I. אם נניח את הקטעים האלה כך שיהיו מאונכים זה לזה, וניצור מרובע
    שהקטעים האלה הם אלכסוניו – אילו מרובעים נוכל לקבל?
    II. האם יש תכונה שהיא משותפת לכל המרובעים שיכולים להתקבל?
    אם כן – תארו אותה.
    III. האם תשובותיכם לסעיפים הקודמים נכונות גם למקרה שאורכי הקטעים
    שונים מ-5 ס"מ ו-7 ס"מ? אם לא – מה משתנה בתשובותיכם?
  2. נתונים שני קטעים שונים באורכם.
    נתון שאורכי הקטעים הם 5 ס"מ ו-7 ס"מ.
    I. אם נניח את הקטעים האלה כך שלא יהיו מאונכים זה לזה, וניצור מרובע
    הקטעים האלה הם אלכסוניו – אילו מרובעים נוכל לקבל?
    II. האם יש תכונה שהיא משותפת לכל המרובעים שיכולים להתקבל?
    אם כן – תארו אותה.
    III. האם תשובותיכם לסעיפים הקודמים נכונות גם למקרה שאורכי הקטעים
    שונים מ-5 ס"מ ו-7 ס"מ? אם לא – מה משתנה בתשובותיכם?

מדרגות לשאלות 1, 2

  • תוכלו לבנות מרובעים שונים בעזרת: קשי שתיה/עטים/עפרונות…
    או בעזרת היישומון או בעזרת כלים טכנולוגיים אחרים.
    (ניתן ללחוץ על התמונות הבאות ולהגדילן)
  • שימו לב שניתן לשנות את נקודת החיתוך בין האלכסונים.
  • מה ניתן לדעת על מרובע שאלכסוניו מאונכים?
  • ניתן להיעזר בנתונים מספריים לגבי אורכי האלכסונים בכל סעיף.
  • לפי הצורך ניתן להיעזר במשפט פיתגורס.
  • היעזרו ביישומון למדידות קטעים ושטחים.

יישומון לשאלה 1א – שווים ומאונכים

  • ניתן לשנות את המרובע על ידי גרירת הנקודות \(A\), \(B\), \(E\).
  • למדידת קטעים הקלידו בתיבות המתאימות (בחלון התחתון) את שמות נקודות הקצה של הקטע (באותיות גדולות), הקישו \(Enter\) ואחר כך הקישו על הכפתור "גודל".

יישומון לשאלה 1ב – שווים ואינם מאונכים

  • ניתן לשנות את המרובע על ידי גרירת הנקודות \(A\), \(B\), \(E\).
  • גרירת הסימון "סיבוב", משנה את המרובע ומשפיעה על שינוי הערכים הנמדדים (זוויות, אורכי קטעים וכו').
  • למדידת קטעים הקלידו בתיבות המתאימות (בחלון התחתון) את שמות נקודות הקצה של הקטע (באותיות גדולות), הקישו \(Enter\) ואחר כך הקישו על הכפתור "גודל".

יישומון לשאלה 2א – אינם שווים אבל מאונכים

  • ניתן לשנות את המרובע על ידי גרירת הנקודות \(A\), \(B\), \(E\).
  • למדידת קטעים הקלידו בתיבות המתאימות (בחלון התחתון) את שמות נקודות הקצה של הקטע (באותיות גדולות), הקישו \(Enter\) ואחר כך הקישו על הכפתור "גודל".

יישומון לשאלה 2ב  – אינם שווים ואינם מאונכים

  • ניתן לשנות את המרובע על ידי גרירת הנקודות \(A\), \(B\), \(E\).
  • גרירת הסימון "סיבוב", משנה את המרובע ומשפיעה על שינוי הערכים הנמדדים (זוויות, אורכי קטעים וכו').
  • למדידת קטעים הקלידו בתיבות המתאימות (בחלון התחתון) את שמות נקודות הקצה של הקטע (באותיות גדולות), הקישו \(Enter\) ואחר כך הקישו על הכפתור "גודל".

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שני.

סוג המשימה

  • ריבוי תשובות.
  • משימת חקר.
  • גילוי והסקת מסקנות מתוך התשובות המתקבלות.

הידע הדרוש

  • סוגים שונים של מרובעים ותכונותיהם.
  • שטחים של משולשים ומרובעים.

מה נלמד

  • חידוד והעמקה בתכונות של מרובעים, בדגש על הקשרים בין מאפיינים של אלכסונים לסוגי מרובעים.
  • חידוד והעמקה של הקשר בין אלכסונים של מרובע המאונכים זה לזה לבין שטח המרובע.

הדגשים ומטרות

  • תנאים מספיקים ליצירת מרובעים שונים בהקשר לאלכסונים.
  • אלכסונים שווים אינה תכונה מספקת למלבן/ טרפז שווה שוקיים, גם במרובע כלשהו יכולים להיות אלכסונים שווים.
  • במרובע כלשהו אלכסונים יכולים להיות מאונכים זה לזה.
  • כל מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה ניתן למצוא את שטחו על ידי מחצית מכפלת אלכסוניו. לכן כל המרובעים בעלי אותם אלכסונים ושאלכסוניהם מאונכים הם בעלי אותו שטח.

דירוג אתגר מתמטי

  • הפנייה לשימוש באמצעי המחשה או עזרים טכנולוגיים.
  • תזכורת לגבי הקשר בין שטח מרובע לאלכסוניו, כאשר האלכסונים מאונכים זה לזה.
  • תזכורת לגבי שימוש במשפט פיתגורס.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות). המורה יכול לנתב את התלמידים לשימוש במדרגות, או לאפשר לתלמידים להיעזר במדרגות בהתאם לרצונם.
  • דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את הפתרונות השונים ויסיקו מסקנות בהתאם לסעיפים השונים של המשימה.

הצעות לפתרונות:

שאלה 1

שאלה 1 סעיף א/I

ניתן לקבל את המרובעים הבאים:

  • ריבוע – אם בנוסף האלכסונים חוצים זה את זה.
  • דלתונים – אם בנוסף רק אלכסון אחד חוצה את האלכסון השני.
  • טרפזים שווי שוקיים – אם בנוסף האלכסונים מחלקים זה את זה כך שקטעי האלכסונים הקרובים לאותו בסיס שווים (או שהאלכסונים מחלקים זה את זה ביחס שווה).
  • מרובעים כלשהם – אם לא מתקיימים תנאים נוספים.

שאלה 1 סעיף א/II

תכונות משותפות לכל המרובעים המתקבלים בסעיף א/I.

  • כל המרובעים שווי שטח.
  • סכום ריבועי זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום ריבועי זוג צלעות נגדיות שני (ראו פתרון שאלה 2, סעיף א/II).

שאלה 1 סעיף א/III

התשובות לסעיפים הקודמים לא משתנות.

שאלה 1 סעיף ב/I

ניתן לקבל את המרובעים הבאים:

  • מלבנים – אם בנוסף האלכסונים חוצים זה את זה.
  • טרפזים שווי שוקיים – אם בנוסף האלכסונים מחלקים זה את זה כך שקטעי האלכסונים הקרובים לאותו בסיס שווים (או שהאלכסונים מחלקים זה את זה ביחס שווה).
  • מרובעים כלשהם – אם לא מתקיימים תנאים נוספים.

שאלה 1 סעיף ב/II

אין תכונה משותפת לכל המרובעים שמתקבלים בסעיף ב/I.

שאלה 1 סעיף ב/III

התשובות לסעיפים הקודמים לא משתנות.

שאלה 2

שאלה 2 סעיף א/I

ניתן לקבל את המרובעים הבאים:

  • מעוין – אם בנוסף האלכסונים חוצים זה את זה.
  • דלתונים – אם בנוסף אלכסון אחד חוצה את האלכסון השני.
  • טרפזים כלשהם – אם בנוסף האלכסונים מחלקים זה את זה ביחס שווה.
    מרובעים כלשהם – אם לא מתקיימים תנאים נוספים.

שאלה 2 סעיף א/II

תכונות משותפות לכל המרובעים המתקבלים בסעיף ג:

  • כל המרובעים שווי שטח.
  • סכום ריבועי זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום ריבועי זוג צלעות נגדיות שני.
    \(AC^2+DB^2=BC^2+AD^2=CE^2+AE^2+EB^2+ED^2\)

שאלה 2 סעיף א/III

התשובות לסעיפים הקודמים לא משתנות.

שאלה 2 סעיף ב/I

ניתן לקבל את המרובעים הבאים:

  • מקביליות – אם בנוסף האלכסונים גם חוצים זה את זה.
  • טרפזים כלשהם – אם בנוסף האלכסונים מחלקים זה את זה ביחס שווה.
  • מרובעים כלשהם – אם לא מתקיימים תנאים נוספים.

שאלה 2 סעיף ב/II

אין תכונה משותפת לכל המרובעים שמתקבלים בסעיף ב/I.

שאלה 2 סעיף ב/III

התשובות לסעיפים הקודמים לא משתנות.

סיכום הפתרונות

מספר שאלהתכונות המרובעיםסעיף \(I\) סוגי מרובעים
שאלה 1 סעיף אאלכסונים שווים ומאונכים\(\small\circ\) ריבוע
\(\small\circ\) דלתון
\(\small\circ\) טרפז שווה שוקיים
\(\small\circ\) מרובע כלשהו
שאלה 1 סעיף באלכסונים שווים ואינם מאונכים\(\small\circ\) מלבן
\(\small\circ\) טרפז שווה שוקיים
\(\small\circ\) מרובע כלשהו
שאלה 2 סעיף אאלכסונים שונים באורכם ומאונכים\(\small\circ\) מעוין
\(\small\circ\) טרפז
\(\small\circ\) דלתון
\(\small\circ\) מרובע כלשהו
שאלה 2 סעיף באלכסונים שונים באורכם ואינם מאונכים\(\small\circ\) מקבילית
\(\small\circ\) טרפז
\(\small\circ\) מרובע כלשהו
]]> מיון פרבולות – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%9e%d7%99%d7%95%d7%9f-%d7%a4%d7%a8%d7%91%d7%95%d7%9c%d7%95%d7%aa-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Thu, 11 Nov 2021 11:06:58 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=7565

מיון פרבולות - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

מיינו את הפרבולות המופיעות ביישומון, בדרכים שונות.

יישומון

  • לחיצה על פרבולה מסויימת, תציג בצד שמאל, את התמונה המוגדלת שלה.
  • ביישומון נתונה טבלה שמאפשרת להציג עד 5 קבוצות.
    • לשינוי מספר העמודות היעזרו בסרגל הגרירה.
    • לשינוי גובה העמודות גררו את הנקודה הירוקה שבפינה הימנית-התחתונה.
  • כתבו בתיבה המתאימה שבראש כל עמודה את מאפיין המיון, וגררו אל העמודה את תמונות הגרפים של הפרבולות.

מדרגה

היעזרו ביישומון: הציגו והסתירו פונקציות למציאת מאפיינים משותפים.

יישומון למדרגה

  • הציגו והסתירו פונקציות למציאת תכונות משותפות.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת         

  • כיתה ט', שליש שלישי.

סוג המשימה

  • משימה פתוחה.
  • משימת מיון.

הידע הדרוש 

  • תכונות של גרף הפונקציה הריבועית.

מה נלמד

  • העמקה וחידוד ההבנה של תכונות של פונקציה ריבועית.

הדגשים ומטרות

  • פיתוח היכולת לזהות תכונות של פונקציה ריבועית על פי הגרף שלה.
  • פיתוח היכולת לזהות מצבים הדדיים בין הגרפים של פונקציה ריבועית.

מערך דידקטי מומלץ

  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (בקבוצות).
  • דיונים כיתתיים: כל קבוצה בתורה תציג דרך אחת למיון הפונקציות. ניתן לערוך תחרות בין הקבוצות, והקבוצה שמצאה דרך למיון הגרפים שהקבוצות האחרות לא מצאו, היא "המנצחת".

טבלה לתכנון משימת מיון של פרבולות

בחירת שתי אפשרויות עיקריות למיון:

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\)סוג הקודקוד
מספר נקודות
משותפות עם ציר \(x\)		מינימוםמקסימום
שתי נקודות משותפותה', ט'ג', ז'
נקודה משותפת אחתא'ו'
אין נקודות משותפותד'ב', ח'

הערות:

  • ציינו נקודות משותפות עם ציר \(x\) ולא נקודות חיתוך, כיוון שאם לפרבולה נקודה משותפת אחת עם ציר \(x\) זו אינה נקודת חיתוך.
  • ייתכנו עוד אפשרויות מיון רבות, כפי שמפורט בהמשך.

הצעות אפשריות למיון הגרפים

  • מיון על פי נקודות חיתוך עם ציר \(y\) שלילי/ חיובי, או פרבולות בעלות אותה נקודת חיתוך עם ציר ה- \(y\).
  • פרבולות בעלות נקודת מינימום/ מקסימום.
  • מיון על פי נקודות משותפות עם ציר \(x\): מספר הנקודות המשותפות עם ציר ה- \(x\), או פרבולות בעלות אותן נקודות משותפות עם ציר ה- \(x\).
  • מיון על פי קודקוד הפרבולה: פרבולות בעלות אותו קודקוד, או פרבולות בעלות אותו שיעור \(x\) של הקודקוד.
  • ……..
סוג הקודקודפרבולות בעלות מינימוםפרבולות בעלות מקסימום
הפרבולותא', ד', ה', ט'ב', ג', ו', ז', ח'

\(\hspace{1cm}\)

מיקום הקודקודרביע \(I\)רביע \(II\)רביע \(III\)רביע \(IV\)על ציר ה-\(x\)על ציר ה-\(y\)
הפרבולותד'ג', ז'ב', ה', ח'ט'א', ו'—

\(\hspace{1cm}\)

שיעור \(x\) של הקודקוד\(x_{דוקדוק} = 2\)\(x_{דוקדוק} = 1\)\(x_{דוקדוק} = -2.5\)
הפרבולותא'ד', ו', ט'ב', ג', ה', ז', ח'

\(\hspace{1cm}\)

הסימן של שיעור \(y\) קודקוד\(y_{דוקדוק}>0\)\(y_{דוקדוק}<0\)\(y_{דוקדוק}=0\)
הפרבולותג', ד', ז'ב', ה', ח', ט'א', ו'

\(\hspace{1cm}\)

מספר הנקודות המשותפות עם ציר ה-\(x\) (השורשים)שתייםאחתאפס
הפרבולותג', ה', ז', ט'א', ו'ב', ד', ח'

\(\hspace{1cm}\)

הסימנים של שיעורי הנקודות המשותפות עם ציר ה-\(x\) (השורשים)שני שורשים
שווי סימן חיוביים		שני שורשים
שווי סימן שליליים		שני שורשים
שוני סימן		שורש אחד
חיובי		שורש אחד
שלילי		אין שורשים
הפרבולות—ג', ה', ז'ט'א', ו'—ב', ד', ח'

\(\hspace{1cm}\)

שיעור הנקודות המשותפות עם ציר ה-\(x\)\((3,0)\)\((2,0)\)\((1,0)\)\((-1,0)\)\((-4,0)\)אין
הפרבולותט'א'ו'ג', ה', ז', ט'ג', ה', ז' ב', ד', ח'

\(\hspace{1cm}\)

הסימן של נקודת החיתוך
עם ציר ה-\(y\)		חיובישליליאפס
הפרבולותא', ד', ה'ב', ג', ו', ז', ח', ט'—

\(\hspace{1cm}\)

השיעור של נקודת החיתוך עם ציר ה-\(y\)\((0,4)\)\((0,-1)\)\((0,-2)\)\((0,-5.5)\)\((0,-6)\)\((0,-8)\)
הפרבולותא', ד', ה'ו'ז', ט'ח'ג'ב'

\(\hspace{1cm}\)

הרביעים בהם עוברת הפרבולהרביעים
\(I, II\)		רביעים
\(I, II, III\)		רביעים
\(II, III, IV\)		רביעים
\(III, IV\)
כל הרביעים
הפרבולותא', ד'ה'ג', ז'ב', ו', ח' ט'

וכו'.

]]> התאמת ביטויים לגרפים של פרבולות ב – למורה https://mathkey.haifa.ac.il/%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%99%d7%9d/%d7%91%d7%99%d7%98%d7%95%d7%99%d7%99%d7%9d-%d7%9c%d7%a4%d7%a8%d7%91%d7%95%d7%9c%d7%95%d7%aa-%d7%91-%d7%9c%d7%9e%d7%95%d7%a8%d7%94/ Mon, 18 Oct 2021 06:19:50 +0000 https://mathkey.haifa.ac.il/?p=7314

התאמת ביטויים לגרפים של פרבולות - חלק ב - למורה

הנחיות למורה – עברית

משימה לתלמיד – עברית

משימה לתלמיד – بالعربية

מבנה המשימה

محتوى المهمة

משימה

סעיף א

  1. כתבו ביטויים מתאימים ל-4 הפרבולות שבתמונה (הפרבולות חופפות).
  2.  מצאו לפחות עוד שתי אפשרויות לביטויים מתאימים.

מדרגה לסעיף א

לכל אחד מהסרטוטים הבאים רשמו ביטויים לפרבולות שהגרפים שלהן נתונים בסרטוט (הפרבולות חופפות):

יישומון

  • הקלידו בתיבות, ביטויים של פונקציות המתאימות לפרבולות שבתמונה.
  • לקבלת משוב לחצו על הכפתור בדיקה.
  • המשוב מתייחס גם לכל פונקציה בנפרד וגם לקשר ביניהן:
    • הצבע שבו יופיע השם של כל פונקציה במשוב:
      כחול – ביטוי אפשרי; אדום – ביטוי שגוי.
    • צבעי הקטעים המחברים בין שמות הפונקציות השונות:
      חיבור כחול – שתי הפונקציות יחד מתאימות לתמונה;
      חיבור אדום – הצירוף של שתי הפונקציות יחד לא מתאים לתמונה.
    • לאחר שינוי של ביטוי באחת הפונקציות – לחצו שוב על כפתור הבדיקה.

סעיף ב

  1. כתבו ביטויים מתאימים ל-4 הפרבולות שבתמונה (הפרבולות חופפות).
  2.  מצאו לפחות עוד שתי אפשרויות לביטויים מתאימים.

מדרגה 1 לסעיף ב

לכל אחד מהסרטוטים הבאים רשמו ביטויים לפרבולות שהגרפים שלהן נתונים בסרטוט (הפרבולות חופפות):

יישומון

  • הקלידו בתיבות, ביטויים של פונקציות המתאימות לפרבולות שבתמונה.
  • לקבלת משוב לחצו על הכפתור בדיקה.
  • המשוב מתייחס גם לכל פונקציה בנפרד וגם לקשר ביניהן:
    • הצבע שבו יופיע השם של כל פונקציה במשוב:
      כחול – ביטוי אפשרי; אדום – ביטוי שגוי.
    • צבעי הקטעים המחברים בין שמות הפונקציות השונות:
      חיבור כחול – שתי הפונקציות יחד מתאימות לתמונה;
      חיבור אדום – הצירוף של שתי הפונקציות יחד לא מתאים לתמונה.
    • לאחר שינוי של ביטוי באחת הפונקציות – לחצו שוב על כפתור הבדיקה.

מדרגה 2 לסעיף ב

לכל אחד מהסרטוטים הבאים רשמו ביטויים לפרבולות שהגרפים שלהן נתונים בסרטוט (הפרבולות חופפות):

שלב א

שלב ב

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

  • כיתה ט', שליש שלישי.

סוג המשימה

  • משימה פתוחה.
  • ריבוי תשובות.
  • דרכים שונות.

הידע הדרוש

  • תכונות של גרף הפונקציה הריבועית.
  • ייצוגים שונים של הפונקציה הריבועית.
  • קשרים בין משוואת הפרבולה לגרף הפרבולה.
  • טרנספורמציות של הפונקציה הריבועית בייצוגיה השונים.

מה נלמד

  • העמקה וחידוד ההבנה של תכונות של פונקציה ריבועית.

הדגשים ומטרות

  • פיתוח היכולת לזהות תכונות של הפונקציה הריבועית על פי הגרף שלה.
  • פיתוח היכולת לזהות מצבים הדדיים בין הגרפים של פונקציה ריבועית.
  • פיתוח היכולת למצוא משוואת פרבולה על פי מאפייני הגרף שלה.
  • פיתוח היכולת לבחור בייצוג המתאים ובטרנספורמציה מתאימה כדי למצוא את משוואת הפרבולה המתאימה לגרף נתון.

דירוג אתגר מתמטי

  • כל סעיף במשימה המקורית (בה ישנם ארבעה גרפים) מחולק לכמה שאלות פשוטות יותר, שבהן ישנם רק שני גרפים.

מערך דידקטי מומלץ

אפשרויות שונות לאירגון השיעור:

  • אפשרות א': כל התלמידים (בקבוצות) פותרים את שני הסעיפים.
  • אפשרות ב': חלק מקבוצות התלמידים פותרים את סעיף א', החלק השני של הקבוצות פותר את סעיף ב'. בדיון הכיתתי דנים ומסבירים את שני הסעיפים, וכשיעורי בית התלמידים משלימים את הסעיף שלא פתרו בכיתה.
  • אפשרות ג': חלק מקבוצות התלמידים פותרים את סעיף א', החלק השני של הקבוצות פותר את סעיף ב'. ואח"כ מערבבים בין תלמידי הקבוצות – ויוצרים "למידת עמיתים".
  • אפשרות ד': את אחד הסעיפים פותרים בכיתה ואת הסעיף השני פותרים כשיעורי בית, ודנים בו בשיעור שלאחר מכן.
  • פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
  • עבודה עצמית של התלמידים (בקבוצות). רצוי שתלמידים יעזרו ביישומון המצורף.
    תלמידים יבחרו אם להיעזר במדרגות.
  • דיונים כיתתיים:
    דיון בכל סעיף במשימה:
    • נציג מכל אחת מהקבוצות יציג את הביטויים שהקבוצה מצאה לגרפים באותו סעיף ויסביר כיצד הקבוצה הגיעה לתשובותיה.
    • יתקיים דיון כיתתי לגבי השאלות:
      א. האם התשובות נכונות? אם לא – מה יש לתקן? וכיצד? רצוי להציג את הגרפים המתקבלים מתשובות התלמידים בעזרת תוכנה המאפשרת סרטוט גרפים.
      ב. לפי אילו עקרונות ניתן להגיע לביטויים המתאימים לגרפים הנתונים באותו סעיף.

הנחיות למורה

תלמידים אינם נדרשים להציג את תשובותיהם ולהסבירם בעזרת פרמטרים. ניתן להסביר את הקשרים בין הפרמטרים בביטויים של הפרבולות במילים.

כל דרך נכונה לפתרון מתקבלת, וכל תשובה נכונה מתקבלת.

הצעות לפתרונות:

סעיף א

\(f(x)=ax^2+c \space\space , \space\space g(x)=ax^2+x+c \space\space , \space\space h(x)=ax^2+2x+c \space\space , \space\space p(x)=ax^2+3x+c\)

כל זה כאשר: \(a<0 \space\space , \space\space c>0\)

לדוגמה:

\(f(x)=-x^2+3 \space\space , \space\space g(x)=-x^2-x+3 \space\space , \space\space h(x)=-x^2-2x+3 \space\space , \space\space p(x)=-x^2-3x+3\)
\(\space\)

סעיף ב

לכל הפרבולות נקודה משותפת שאינה על ציר ה- y.

ניתן תחילה לדאוג לכך שכל הפרבולות יהיו בעלות מינימום, ולכולן נקודה משותפת על ציר ה-y (בדומה לסעיף א') ואז להזיזן ימינה או שמאלה.

לדוגמה:

שלב א': פרבולות שלכולן נקודה משותפת על ציר ה- y

יש לשים לב:

  • שכל הקודקודים של הפרבולות לא יהיו על ציר ה- y,
  • וכן יש לשים לב שקודקוד של פרבולה אחת יהיה מימין לציר ה- y,
  • וששיעור ה- y של קודקוד זה יהיה הגבוה ביותר מבין שיעורי ה- y של הקודקודים האחרים.

\(y=(x-0.5)^2+2.75=x^2-x+3\)

\(y=x^2+2x+3\)

\(y=x^2+4x+3\)

\(y=x^2+5x+3\)

שלב ב': הזזה ימינה של כל הפרבולות

יש לשים לב שההזזה ימינה תהיה כזו שפרבולה \(h(x)\) תהיה סימטרית סביב ציר ה-y.

\(f(x)=(x-0.5-2)^2+2.75\)

\(g(x)=(x-2)^2+2(x-2)+3\)

\(h(x)=(x-2)^2+4(x-2)+3\)

\(p(x)=(x-2)^2+5(x-2)+3\)

]]>