סטטיסטיקה - ממוצעים - למורה
משימה
בכיתה ישנם 24 תלמידים. כל התלמידים ניגשו לבחינה במתמטיקה.
מורה בדקה ורשמה לעצמה את הציונים בבחינה וחישבה את הממוצע.
הממוצע שהתקבל הוא 74.5.
לפניכם רשימת הציונים שרשמה לעצמה המורה:
79 ,80 ,82 ,63 ,70 ,70 ,80 ,80 ,82 ,63 ,56 ,76 ,82 ,90 ,56 ,44 ,90 ,90 ,82 ,82 ,72 ,70.
- למחרת היום גילתה המורה ששכחה לבדוק שני מבחנים. לאחר הוספת שני הציונים שחסרו לרשימה התברר לה שממוצע הציונים לא השתנה. מה יכולים להיות הציונים של שתי הבחינות הנוספות? הסבירו.
- המורה חילקה את הבחינות לכל 24 התלמידים. שלושה תלמידים ערערו על הציון. לאחר בדיקה חוזרת החליטה המורה להעלות את ציוניהם. כתוצאה מכך הממוצע עלה ל- 75. בכמה נקודות המורה העלתה את הציון של כל אחד משלושה התלמידים? הסבירו.
מדרגה
- תוכלו לבדוק מקרים פרטיים.
- תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.
- טבלת ציונים מקוריים (שאלה 1): השלימו ערכים לציונים החסרים.
- טבלת ציונים לאחר ערעור (שאלה 2): שנו ציונים ובדקו את הממוצע.
הנחיות למורה
כיתה מומלצת
- כיתה ח', שליש שני
סוג המשימה
- ריבוי תשובות בטווח מסויים.
הידע הדרוש
- חישוב ממוצע.
מה נלמד
- העמקה בחישוב ממוצעים.
הדגשים ומטרות
- התמודדות עם שאלות בעלות כמה תשובות וניתוחן.
- משמעות הממוצע.
- ההשפעה של שינוי של כמה נתונים על הממוצע.
דירוג אתגר מתמטי
- הפנייה לבדיקת מקרים פרטיים ולאפשרות להיעזר ביישומון.
מערך דידקטי מומלץ
- פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
- עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
- דיונים כיתתיים:
- התלמידים יציגו את תשובותיהם, ואת דרכי הפתרון.
הסקת מסקנות לגבי אילו תנאים צריכות לקיים כל התשובות המתקבלות בכל אחד מהסעיפים.
שאלות נוספות לדיון
- האם הממוצע של הציונים ה"תוספתיים" בהכרח שווה לממוצע של המספרים הנתונים?
- האם קיימת חשיבות לסדר בתוך הזוגות הסדורים?
הצעות לפתרונות (כל דרך נכונה ותשובה נכונה מתקבלת):
דרך פתרון אפשרית:
סעיף א
הממוצע של שני הציונים החסרים צריך להיות 74.5.
\(\Large\frac{a_1+…+a_{22}}{22}\normalsize=74.5\)
\(\Large\frac{a_1+…+a_{22}+a_{23}+a_{24}}{24}\normalsize=74.5\)
\(a_{23}+a_{24}=149\)
הכללה*: ממוצע של ציונים "תוספתיים" שווה לממוצע של המספרים הנתונים במקרה שהממוצע לא השתנה.
פתרון: הציון הגבוה ביותר הוא 100 והציון ה"משלים" הוא 49. לכן זוגות הציונים הבאים אפשריים:
\((49,100)\) , \((50,99)\) , \((51,98)\) … \((75, 76)\)
שאלה לדיון: האם קיימת חשיבות לסדר בתוך הזוגות הסדורים?
סעיף ב
x ,y ,z מסמנים את מספר הנקודות שהמורה העלתה לכל אחד מהתלמידים
\(\Large\frac{74.5\cdot 24+x+y+z}{74}\normalsize=75\)
כלומר, סכום כל הנקודות שהמורה העלתה לשלושה תלמידים צריך להיות 12.
לדוגמה: לאחד התלמידים המורה הוסיפה 3 נקודות, לתלמיד השני 7 נקודות ולשלישי 2 נקודות.
פתרון: כל השלשות של מספרים טבעיים שסכומם 12. שלשות אלו מוצגות בטבלה.
(תלמידים לא מתבקשים למצוא את כל התמורות).
| מס' תמורות | שלשות של מספרים |
|---|---|
| 3 | \(1, 1, 10\) |
| 6 | \(1, 2, 9\) |
| 6 | \(1, 3, 8\) |
| 6 | \(1, 4, 7\) |
| 6 | \(1, 5, 6\) |
| 3 | \(2, 2, 8\) |
| 6 | \(2, 3, 7\) |
| 6 | \(2, 4, 6\) |
| 3 | \(2, 5, 5\) |
| 6 | \(3, 4, 5\) |
| 1 | \(4, 4, 4\) |
| 52 |