מספר קטעים - חלק א - למורה

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

• כיתה ז', שליש ראשון.

סוג המשימה

• משימת חקר.
• מדוגמאות להכללה.
• דרכים שונות שמובילות לביטויים אלגבריים שווים.

הידע הדרוש

• בניית ביטוי אלגברי (ללא פישוט ביטויים).

מה נלמד

• מעבר מביטוי חשבוני בעל ערך מספרי לביטוי אלגברי.
• הבנת המשמעות של ביטויים אלגבריים שווים.

הדגשים ומטרות

• לפתח את היכולת של התלמיד לקשר בין חשיבה על דרך פתרון מסוימת לבין תרגיל חשבוני או ביטוי אלגברי.
• הכרות וחיזוק של גישה עצמאית לחקירה, להסקת מסקנות, להכללות.

אפיון דירוג

• הדירוג מאפשר חקירה עצמית לתלמידים שאינם בעלי נסיון רב בעיסוק עם בעיות חקר.
• הדירוג מאפשר לפתור את השאלה בדרכים שונות.

מערך דידקטי מומלץ

• פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
• עבודה בקבוצות.
• דיון במליאה.

הצעות לפתרונות:

פתרון לפי דרך 1:

ללא הגבלת הכלליות נניח שהמרחק, בין כל זוג נקודות שכנות, הוא 1 ס"מ (הנחה זאת אינה משפיעה על מספר הקטעים).

במקרה זה על הישר יש:
\(n-1\) קטעים באורך 1 ס"מ;
\(n-2\) קטעים באורך 2 ס"מ: הקצה השמאלי של קטע שאורכו 2 ס"מ: יכול להיות כל נקודה נתונה מלבד שתי הנקודות הימניות הקיצוניות; וכך הלאה, …

קיימים 2 קטעים שאורכם \((n-2)\); ולבסוף יש רק קטע אחד שאורכו \((n-1)\).
לכן, סה"כ יש \((n-1)+(n-2)+⋯+2+1=\frac{(n-1)n}{2}\) קטעים.

פתרון לפי דרך 2:

מסמנים את הנקודות על הישר באופן שיטתי אחת אחרי השנייה.

אחרי סימון שתי הנקודות הראשונות מקבלים קטע אחד.
הנקודה השלישית מגדירה על הישר 2 קטעים נוספים (בינה לבין שתי הנקודות שסומנו קודם).
הנקודה הרביעית מגדירה 3 קטעים חדשים וכך הלאה, …,
הנקודה ה-\(n\) מוסיפה \((n-1)\) קטעים חדשים (בינה לבין כל אחת מ- \((n-1)\) הנקודות שסומנו קודם).

לכן, סה"כ מספר הקטעים הוא: \(1+2+⋯+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}\).

פתרון לפי דרך 3:

מעבירים מכל נקודה חצים לכל שאר \((n-1)\) הנקודות. כך מקבלים \((n-1)n\) חיצים.
יש לשים לב שלכל קטע מתאימים 2 חיצים בכיוונים נגדיים, לכן, מספר הקטעים שווה למחצית מספר החיצים. כלומר, מספר הקטעים הוא \(\frac{(n-1)n}{2}\).