הפרש ריבועים - למורה

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

• כיתה ט', שליש שני.

סוג המשימה

• משימה פתוחה.
• ריבוי דרכי פתרון.

הידע הדרוש

• תכונות של מספרים שלמים.
• מספרים עוקבים.
• נוסחאות כפל מקוצר.

מה נלמד

• תכונה של מספרים עוקבים.

הדגשים ומטרות

• הצגת דרכים שונות לפתרון.

דירוג אתגר מתמטי

• שני יישומונים. כל יישומון מתייחס לדרך פתרון אחרת .

מערך דידקטי מומלץ

• פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
• עבודה עצמית של התלמידים (ביחידים, בזוגות או בקבוצות).
• דיונים כיתתיים: התלמידים יציגו את תשובותיהם ואת הדרכים השונות לפתרון.
• כל דרך נכונה ותשובה נכונה מתקבלים.

תשובה אפשרית:

מסקנה \(Ⅰ\): הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

מסקנה \(Ⅱ\): הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא מספר אי זוגי.

הצעות לפתרונות:

דרך א

אם שני מספרים עוקבים, אז אחד זוגי והשני אי זוגי.

ריבוע של מספר זוגי, הוא מספר זוגי.

ריבוע של מספר אי זוגי, הוא מספר אי זוגי.

והפרש בין שני מספרים, שהאחד זוגי והשני אי זוגי, הוא תמיד אי זוגי.

לכן, הפרש הריבועים של מספרים עוקבים, הוא מספר אי זוגי.

\(\space\)

דרך ב

בעזרת הנוסחה \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) ושיקולי זוגיות ואי זוגיות.

כאשר \(a\) עוקב של \(b\) הפרשם 1, ולכן, הפרש הריבועים שלהם שווה לסכומם.

מכיוון שהמספרים עוקבים, אחד מהם זוגי והאחר אי זוגי, לכן סכומם אי זוגי.

\(\space\)

דרך ג

בדרך אלגברית, בעזרת הנוסחה \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

נסמן את המספרים ב-\(n\) וב- \(n+1\) (\(n\) מספר טבעי).

\((n+1)^2-n^2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1\)

לכל \(n\) שהוא מספר טבעי, \(2n+1\) הוא מספר אי זוגי.

והפרש הריבועים של המספרים העוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.

\(\space\)

דרך ד

בדרך אלגברית, בעזרת הנוסחה \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

נסמן את המספרים העוקבים ב-\(n\) וב- \(n+1\) (\(n\) מספר טבעי).

\((n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1\)

לכל \(n\) שהוא מספר טבעי, \(2n+1\) הוא מספר אי זוגי.

הפרש הריבועים של המספרים העוקבים, הוא סכום המספרים העוקבים.