בעיית גילים - סכום ספרות - למורה

מבנה המשימה

محتوى المهمة

הקדמה למשימה

הטבלה שלפניכם מדגימה כיצד לחשב סכום ספרות של מספר כלשהו, עד לקבלת מספר חד-ספרתי:

מספר	סכום ספרות	סכום ספרות חד-ספרתי
\(15\)	\(1+5=6\)	\(6\)
\(29\)	\(2+9=11\)	\(1+1=2\)
\(75\)	\(7+5=12\)	\(1+2=3\)
\(897\)	\(8+9+7=24\)	\(2+4=6\)
\(9566\)	\(9+5+6+6=26\)	\(2+6=8\)

משימה

שאלה 1

ימי ההולדת של יוסי ושל בנו נדב חלים באותו תאריך. השנה יוסי בן 48 ונדב בן 12.

נדב שם לב לתופעה מעניינת ואמר לאביו: "לא רק תאריך יום ההולדת שלנו הוא משותף – גם סכום הספרות החד-ספרתי של הגיל שלנו משותף, והוא שווה ל- 3".

האם גם בשנים הקודמות היה סכום הספרות החד-ספרתי של הגיל של יוסי שווה לזה של נדב?

האם המצב יישאר כך גם בשנים הבאות? הסבירו תשובתכם בדרכים שונות.

שאלה 2

הילה נולדה כשאמה דלית הייתה בת 27.

בת כמה תהיה הילה כאשר דלית תהיה בת 52? האם סכום הספרות החד-ספרתי של הגילים שלהן יהיה שווה באותה שנה?

בדקו את סכום הספרות החד-ספרתי של הגילים של דלית והילה במקרים נוספים.

מהי מסקנתכם? הסבירו תשובתכם בדרכים שונות.

שאלה 3

בדקו את סכום הספרות החד-ספרתי של הגיל שלכם ושל הגיל של אחד מבני משפחתכם לאורך כמה שנים.

האם סכום הספרות החד-ספרתי במקרים שבדקתם נשאר שווה לאורך השנים? (התעלמו מתאריך הלידה המדויק – התייחסו לגיל בשנים כמספר שלם).

שאלה 4

באילו מקרים סכום הספרות החד-ספרתי של גילים נשאר שווה לאורך השנים? הסבירו תשובתכם בדרכים שונות.

יישומון

רשמו מספר בצד שמאל ולחצו על כפתור "חשב", כדי שהיישומון יהפוך אותו לסכום חד-ספרתי.

מדרגות

חשבו את סכום הספרות החד-ספרתי של הגיל של יוסי ואת זה של נדב בשנים שונות:

לפני 5 שנים;
בעוד 5 שנים;
לפני 11 שנים;
בעוד 11 שנים.

בדקו מקרים נוספים וארגנו חישוביכם בטבלה.

הנחיות למורה

כיתה מומלצת

כיתה ז', ח'.

סוג המשימה

ממקרים פרטיים להכללה
בעיית חקר

הידע הדרוש

סכום ספרות.

מה נלמד

סכום ספרות חד-ספרתי.

הדגשים ומטרות

פיתוח היכולת של התלמיד להגיע להכללה מבדיקת מקרים פרטיים.
פיתוח היכולת לבדוק תכונות של מספרים על מנת להגיע להסבר התופעה.

דירוג אתגר מתמטי

הפניה לבדיקת מקרים פרטיים.

מערך דידקטי מומלץ

פתיחת השיעור: הצגת המשימה והנדרש בה.
עבודה בקבוצות.
דיון כיתתי:
- קבוצות שונות יציגו דוגמאות נוספות שהם בדקו ואת המסקנות שהסיקו.
- לצורך הסבר התופעה רצוי לארגן את הדוגמאות השונות בטבלה (רצוי לתת דוגמאות גם כשהתופעה לא מתקיימת):

מספר	סכום ספרות	סכום ספרות חד-ספרתי
\(15\)	\(1+5=6\)	\(6\)
\(29\)	\(2+9=11\)	\(1+1=2\)
\(75\)	\(7+5=12\)	\(1+2=3\)
\(897\)	\(8+9+7=24\)	\(2+4=6\)
\(9566\)	\(9+5+6+6=26\)	\(2+6=8\)

הצעות לפתרון שאלה 4

רק כאשר סכום הספרות החד-ספרתי של האדם הבוגר שווה ל-9 בזמן שהצעיר נולד, אז סכום הספרות החד-ספרתי של הגילים שלהם יישאר שווה לאורך השנים.

במילים אחרות: רק כאשר הפרש בין הגילים של שני אנשים הוא מספר המתחלק ב-9, אז סכום הספרות החד-ספרתי של הגילים שלהם יישאר שווה לאורך השנים.

הצעות לנימוקים

הצעה א'

הסיבה היא שלאחר שנה סכום הספרות החד-ספרתי של כל אחד מהם שווה ל-1, וכל שנה סכום זה גדל ב-1, כאשר סכום הספרות החד-ספרתי מגיע ל-10 התהליך חוזר על עצמו.

הצעה ב'

כאשר מוסיפים 9 לכל מספר, סכום הספרות שלו אינו משתנה, כיוון שספרת האחדות קטנה ב- 1 וספרת העשרות גדלה ב- 1.

מפת״ח מתמטי - משימות פתוחות לחשיבה מתמטית